Satz über Typenkonvergenz

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Der Satz über Typenkonvergenz ist ein Satz der mathematischen Statistik aus dem Teilgebiet der asymptotischen Statistik. Er besagt, dass bei der Konvergenz geeignet normierter Folgen von Zufallsvariablen gegen eine Grenzverteilung die Wahl alternativer Normierungskonstanten zwar die Grenzverteilung ändern kann, dass aber alle Grenzverteilungen, die sich durch unterschiedliche Normierungen ergeben können, denselben Verteilungstyp haben.

Formulierung und Aussage des Satzes

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Im Folgenden ist mit Verteilungsfunktion eine eindimensionale Verteilungsfunktion gemeint. Für eine Verteilungsfunktion bezeichnet die Menge aller Punkte in , an denen stetig ist. Eine Verteilungsfunktion heißt degeneriert, falls die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Einpunktverteilung ist. Wenn die Zufallsvariable die Verteilungsfunktion hat, dann hat die transformierte Zufallsvariable mit und die Verteilungsfunktion .

Aussage

und seien nicht-degenerierte Verteilungsfunktionen. Für seien Verteilungsfunktionen sowie und . Gilt

und

so sind und vom selben Verteilungstyp, d. h. es gibt Zahlen , mit , und

Die Bedeutung des Satzes besteht darin, dass in der asymptotischen Statistik häufig der Fall auftritt, dass eine Folge reellwertiger Zufallsvariablen zwar in Verteilung nicht konvergiert oder nur gegen eine Zufallsvariable mit degenerierter Verteilung konvergiert, dass aber bei geeigneter Normierung mit Zahlen und für die Folge der Zufallsvariablen

für in Verteilung gegen eine Zufallsvariable mit nicht-degenerierter Verteilungsfunktion konvergiert. Die Konvergenz in Verteilung ist für eine Folge von Zufallsvariablen dabei durch die im Satz verwendete Konvergenz der Verteilungsfunktionen an allen Stetigkeitsstellen der Grenzverteilung definiert. Die Frage, ob durch die Wahl unterschiedlicher Folgen von Normierungskonstanten wesentlich unterschiedliche Grenzverteilungen erreicht werden können, wird durch den Satz von der Typenkonvergenz insofern beantwortet, dass alle auftretenden nicht-degenerierten Grenzverteilungen denselben Verteilungstyp haben.

Zwei wichtige Anwendungsgebiete sind

Beispiele

sei eine Folge normalverteilter Zufallsvariablen und sei eine standardnormalverteilte Zufallsvariable.

  • Für konvergiert in Verteilung gegen .
  • Für konvergiert in Verteilung gegen .
  • Für konvergiert in Verteilung gegen .
  • Für konvergiert in Verteilung gegen .

Die Folge konvergiert in den ersten drei Fällen nicht gegen eine Grenzverteilung und konvergiert im vierten Fall gegen eine Einpunktverteilung an der Stelle Null. In allen vier Fällen können durch eine andere Wahl von Konstanten nur Normalverteilungen als nicht-degenerierte Grenzverteilungen erreicht werden, wobei alle Normalverteilungen zum selben Verteilungstyp gehören.

Der Begriff Verteilungstyp wird hier nicht im umgangssprachlichen Sinn oder als Typ von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, der durch eine parametrische Verteilungsfamilie charakterisiert ist, sondern als Fachbegriff für eine Verteilungsfamilie verwendet, deren Verteilungen durch lineare Transformationen zusammenhängen.