Die Macdonald-Polynome sind in der Mathematik eine Familie von orthogonalen symmetrischen Polynomen in mehreren Variablen. Sie verallgemeinern eine große Familie von orthogonalen Polynomen wie die Schur-Funktionen, Hall-Littlewood-Polynome und die Askey-Wilson-Polynome.
Sie wurden 1988 von Ian Macdonald eingeführt.[1]
Notation
bezeichnet den graduierten Subring der symmetrischen Polynome, wobei die Notation bedeutet, dass die symmetrische Gruppe
auf dem Polynomring
operiert.
bezeichnet den Limes.
bezeichnet der Körper der rationalen Funktionen in
und
.
ist der graduierte Ring der symmetrischen Funktionen mit Koeffizienten in ![{\displaystyle F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
ist der graduierte Ring der symmetrischen Polynome mit
Unbestimmten und Koeffizienten in
.
ist eine Partition und
die Anzahl der von Null verschiedenen Teile. Wenn
aus
Teilen gleich
und
Teilen gleich
besteht, dann schreiben wir
.
bezeichnet die Dominanz-Ordnung für zwei Partitionen, in Formeln:
für alle
.
![{\displaystyle m_{\lambda }(x)=\sum \limits _{\alpha \sim \lambda }x^{\alpha }=\sum \limits _{\alpha \sim \lambda }x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8a803d6c2029c28cf7a20599a99f8cf57b6d86)
- wobei
bedeutet, dass
eine Permutation der Elemente von
ist. Die Menge
mit allen Partitionen
mit höchstens
Teilen bildet eine lineare Basis für
.
Für allgemeine Wurzelsysteme
bezeichnet ein reduziertes Wurzelsystem eines Vektorraumes
mit Zerlegung
.
bezeichnet die Menge der dominanten Gewichte (
sind die Kowurzeln), d. h. die fundamentale Weyl-Kammer.
Macdonald-Polynome können auch ohne Lie-Theorie verstanden werden, deshalb steht die Information zu allgemeinen Wurzelsystemen in der Klammer.
Sei
eine Partition (
). Die Macdonald-Polynome
(mit Wurzelsystem vom Typ
) lassen sich als Eigenfunktionen eines Operators oder explizit über ein inneres Produkt definieren.
Sei
der Shiftoperator[2]
,
dann sind die Macdonald-Polynome
die Eigenfunktionen des Operators
![{\displaystyle D=\sum \limits _{i=1}^{n}\prod \limits _{i\neq j}{\frac {(tx_{i}-x_{j})}{(x_{i}-x_{j})}}T_{q,x_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f8c4f48f94b9e21d9c085d7bcb699f7a29b7c05)
mit Eigenwerten
Sei
eine Partition, dann sind die dazugehörigen Macdonald-Polynome
die eindeutigen symmetrischen Funktionen, welche folgende zwei Bedingungen erfüllen[3]
.
![{\displaystyle \langle P_{\lambda },P_{\mu }\rangle _{(q,t)}=0,\qquad {\text{falls }}\;\mu \neq \lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/392e940339fa2e69b78daf404689df8e3ae240f1)
wobei das Skalarprodukt wie folgt definiert ist
![{\displaystyle \langle p_{\lambda },p_{\mu }\rangle _{(q,t)}=\delta _{\lambda \mu }z_{\lambda }(q,t)=\delta _{\lambda \mu }\left(\prod \limits _{i\geq 1}i^{m_{i}}(m_{i}!)\right)\prod \limits _{i=1}^{l(\lambda )}{\frac {1-q^{\lambda _{i}}}{1-t^{\lambda _{i}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e037db359f126092a25896d94c7c4b7fbcdd614)
wobei
das
-Analogon des Hall-Skalarproduktes bezeichnet
![{\displaystyle z_{\lambda }(q,t)=z_{\lambda }\prod \limits _{i=1}^{l(\lambda )}{\frac {1-q^{\lambda _{i}}}{1-t^{\lambda _{i}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80953c79890d5120bf90144c1c65935bde24d7e6)
mit
für
.
Definiere
und den Automorphismus
,
sei
eine Partition und
die konjugierte Partition (d. h. im Young-Tableau werden Zeilen mit Spalten vertauscht), dann gilt[4]
![{\displaystyle \omega _{q,t}P_{\lambda }(q,t)=Q_{\lambda '}(t,q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e382f8cb7f24975ea10d4ac98188a94a1fc96e9d)
oder äquivalent
![{\displaystyle \omega _{q,t}Q_{\lambda }(q,t)=P_{\lambda '}(t,q).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305e1e81d8f3f356799b2aa914ec1bd8a8b2cd53)
sind die Schur-Funktionen.
sind die Hall-Littlewood-Polynome.
sind die Jack-Symmetrischen-Funktionen.
(monomial-symmetrischen Funktionen).
(elementar-symmetrischen Funktionen).
- I. G. Macdonald: A new class of symmetric functions. In: Universität Wien, Fakultät für Mathematik (Hrsg.): Séminaire Lotharingien de Combinatoire. Band 20, 1988, S. B20a, 41 p.-B20a, 41 p. (englisch, eudml.org).
- I. G. Macdonald: Symmetric functions and Hall polynomials. Hrsg.: Oxford University Press. 2. Auflage. New York, ISBN 978-0-19-873912-8.
- ↑ I. G. Macdonald: A new class of symmetric functions. In: Universität Wien, Fakultät für Mathematik (Hrsg.): Séminaire Lotharingien de Combinatoire. Band 20, 1988, S. B20a, 41 p.-B20a, 41 p. (englisch, eudml.org).
- ↑ I. G. Macdonald: A new class of symmetric functions. In: Universität Wien, Fakultät für Mathematik (Hrsg.): Séminaire Lotharingien de Combinatoire. Band 20, 1988, S. 143–145 (englisch, eudml.org).
- ↑ I. G. Macdonald: A new class of symmetric functions. In: Universität Wien, Fakultät für Mathematik (Hrsg.): Séminaire Lotharingien de Combinatoire. Band 20, 1988, S. 140 (englisch, eudml.org).
- ↑ I. G. Macdonald: A new class of symmetric functions. In: Universität Wien, Fakultät für Mathematik (Hrsg.): Séminaire Lotharingien de Combinatoire. Band 20, 1988, S. 148 (englisch, eudml.org).