Lindblad-Gleichung

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In der Quantenmechanik bezeichnet die Kossakowski-Lindblad-Gleichung (benannt nach Andrzej Kossakowski und Göran Lindblad) oder Mastergleichung in Lindblad-Form den allgemeinsten Typ einer zeit-homogenen Mastergleichung. Sie beschreibt eine nicht-unitäre Evolution des Dichteoperators , welche spurerhaltend und komplett positiv für jede Anfangsbedingung ist.

Die Lindblad-Gleichung für eine auf das -dimensionale (Teil-)System reduzierte Dichtematrix  kann geschrieben werden als:

Dabei bezeichnet

Die Summation läuft nur über , weil wir proportional zum Identitätsoperator genommen haben, wodurch der Summand verschwindet. Unsere Konvention impliziert, dass die für spurlos sind.

Die Terme in der Summation, bei denen gilt, können mit Lindblad-Superoperatoren beschrieben werden:

Falls die Terme alle Null sind, reduziert sich die Lindblad-Gleichung auf die Von-Neumann-Gleichung, das Quanten-Analogon der klassischen Liouville-Gleichung. Eine verwandte Gleichung, das Ehrenfest-Theorem, beschreibt die zeitliche Entwicklung der Erwartungswerte der Observablen.

Auch die folgenden Gleichungen für Quantenobservablen werden Lindblad-Gleichungen genannt:

Diagonalisierung

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Da die Matrix positiv semidefinit ist, kann sie mit einer unitären Transformation diagonalisiert werden:

wobei die Eigenwerte nicht negativ sind.

Wenn wir eine andere orthonormale Operator-Basis definieren:

können wir die Lindblad-Gleichung in diagonaler Form umschreiben:

Diese Gleichung ist invariant unter unitärer Transformation der Lindblad-Operatoren und -Konstanten,

und auch unter inhomogener Transformation

Allerdings zerstört die erste Transformation die Orthonormalität der Operatoren (solange nicht alle identisch sind) und die zweite die Spurlosigkeit. Folglich, bis auf Entartung der , sind die der Diagonalform der Lindblad-Gleichung eindeutig bestimmt durch die Dynamik, solange wir von ihnen fordern orthonormal und spurlos zu sein.

Beispiel Harmonischer Oszillator

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Ein häufiges Beispiel ist die Beschreibung der Dämpfung eines quantenmechanischen harmonischen Oszillators. Für diesen gilt

Hier ist

  • die mittlere Anzahl von Anregungen im Reservoir, die den Oszillator dämpfen, und
  • die Zerfallsrate.

Zusätzliche Lindblad-Operatoren können hinzugefügt werden, um diverse Formen von Dephasierung und Vibrationsdämpfung (vibrational relaxation) zu modellieren. Diese Methoden sind in gitterbasierte Dichteoperator-Propagationsmethoden zur Beschreibung offener Quantensysteme aufgenommen.

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  • Vittorio Gorini, Andrzej Kossakowski, E. C. G. Sudarshan: Completely positive dynamical semigroups of N‐level systems. In: Journal of Mathematical Physics. Band 17, Nr. 5, 1. Mai 1976, ISSN 0022-2488, S. 821–825, doi:10.1063/1.522979 (aip.org).
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