Langlands-Dual

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In der Mathematik ist das Langlands-Dual einer Gruppe in Zusammenhang mit dem Langlands-Programm, einer Reihe von weitreichenden Vermutungen, die die Zahlentheorie und die Darstellungstheorie von Gruppen miteinander verknüpfen, von Bedeutung.

Sei eine spaltbare reduktive Gruppe über einem globalen Körper . Das Langlands-Dual ist die spaltbare reduktive Gruppe, deren Gewichte und Wurzeln die Kogewichte und Kowurzeln von sind.

Langlands-Dual halbeinfacher komplexer Lie-Gruppen

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Sei eine einfache komplexe Lie-Gruppe mit Lie-Algebra . Sei das Langlands-Dual mit Lie-Algebra .

Dann ist das Dynkin-Diagramm von dual zum Dynkin-Diagramm von . (Das Dynkin-Diagramm von ist dual zum Dynkin-Diagramm von und umgekehrt. Alle anderen Dynkin-Diagramme sind zu sich selbst dual.)

Für halbeinfache Lie-Gruppen ist die Lie-Algebra von isomorph zu .

Weiterhin ist das Zentrum von isomorph zur Fundamentalgruppe von und umgekehrt.

  • Das Langlands-Dual von ist .
  • Das Langlands-Dual von ist und umgekehrt.
  • Das Langlands-Dual von ist .
  • Für ist .

Sei der Adelering zu . Das Ziel des Langlands-Programms ist es, die Darstellung von auf in durch Galois-Darstellungen nach parametrisierte Summanden zu zerlegen.

  • J. W. Cogdell: Dual groups and Langlands functoriality in An introduction to the Langlands program, Birkhäuser, 2004, ISBN 978-0-8176-8226-2