In der Mathematik ist die L-Funktion einer elliptischen Kurve oder Hasse-Weil-Zeta-Funktion ein wichtiges Werkzeug der Zahlentheorie.
Sei
eine elliptische Kurve über
. Für eine Primzahl
definieren wir den lokalen Faktor
der L-Reihe in
wie folgt.
Wenn
modulo
gute Reduktion hat, sei
die Anzahl der Punkte in
und
. Wir definieren dann
.
Weiter definieren wir
, wenn
modulo
spaltende semistabile Reduktion hat,
, wenn
modulo
nicht-spaltende semistabile Reduktion hat,
, wenn
modulo
instabile Reduktion hat.
Die L-Reihe der elliptischen Kurve wird dann als Produkt über die lokalen Faktoren definiert:
.
Aus der von Hasse bewiesenen Ungleichung
folgt Konvergenz und Analytizität von
für
.
![{\displaystyle y^{2}+y=x^{3}-x^{2}-10x-20}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b48341f44be8c1a64a5257bbce4d8fd05f703)
Die Gleichung beschreibt ein minimales Modell mit Diskriminante
. Die einzige Primzahl schlechter Reduktion ist
, dort ist die Reduktion spaltend semistabil. Also ist
![{\displaystyle L(E,s)={\frac {1}{1-11^{-s}}}\Pi _{p\not =11\ Primzahl}{\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a40f381d16d86d1a83cebefe4cb9fcd4ca61d021)
.
![{\displaystyle y^{2}=x^{3}-11x^{2}+385}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/822cc1d41d9c9c5eaed7aec5fb7dc00f03f871fd)
Die Kurve hat instabile Reduktion in
und
, spaltende semistabile Reduktion in
und nicht-spaltende semistabile Reduktion in
und
. Damit ist
![{\displaystyle L(E,s)=((1-5^{-s})(1+7^{-s})(1+461^{-s}))^{-1}\Pi _{p\not =2,5,7,11,461\ Primzahl}{\frac {1}{1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a2c0face960ae17947c70b5eaf7ad1d92406474)
.
Die L-Reihe einer elliptischen Kurve hat eine Entwicklung als Dirichlet-Reihe:
,
wobei die Fourier-Koeffizienten
wie folgt berechnet werden:
.
- Für eine Primzahl
ist
, wenn
gute Reduktion in
hat
, wenn
spaltende semistabile Reduktion in
hat
, wenn
nicht-spaltende semistabile Reduktion in
hat
, wenn
instabile Reduktion in
hat.
- Für eine Primzahlpotenz
ist im Falle guter Reduktion modulo
der Fourier-Koeffizient rekursiv definiert durch
, während im Falle schlechter Reduktion
gilt.
- Für teilerfremde Zahlen
gilt
.
Die L-Reihe einer elliptischen Kurve hat eine analytische Fortsetzung auf die gesamte komplexe Zahlenebene und erfüllt mit
![{\displaystyle \Lambda (E,s):=N^{s/2}(2\pi )^{-s}\Gamma (s)L(E,s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b7e08f5594eed8cc2b37573ca098e1c2a6f6ef)
für den Führer
und die Gamma-Funktion
eine Funktionalgleichung
![{\displaystyle \Lambda (E,s)=sign(E,\mathbb {Q} )\Lambda (E,2-s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8efed4f5b6b86b7cb0835e4cc191574b44a9cddf)
mit
. Diese von Hasse und Weil aufgestellte Vermutung folgt aus dem Modularitätssatz. Aus der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer würde
folgen.
- A. Lozano-Robledo: Elliptic curves, modular forms, and their L-functions. Student Mathematical Library 58. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 2011. ISBN 978-0-8218-5242-2/pbk