Die nach Carl Gustav Jacob Jacobi benannte jacobische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form
![{\displaystyle y'=f\left({\frac {ax+by+c}{\alpha x+\beta y+\gamma }}\right)\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0303ea2e89947a72ed51dc1a853cd85e7ce6eed5)
Ein wichtiger Spezialfall ist die Euler-homogene Differentialgleichung (nach Leonhard Euler), auch Ähnlichkeitsdifferentialgleichung genannt[1],
![{\displaystyle y'=f\left({\frac {y}{x}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe2a766241282872919698b19cd7657f396b0cf)
Hier muss eine Fallunterscheidung danach gemacht werden, ob
verschwindet oder nicht.
Wegen
gibt es (eindeutige)
mit
![{\displaystyle {\begin{array}{lcll}&ax^{\star }+by^{\star }&=&-c\\\wedge &\alpha x^{\star }+\beta y^{\star }&=&-\gamma \ .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/785048ea74701c95df13a27a8e8f0bacd065a4bf)
Dann folgt
![{\displaystyle {\frac {ax+by+c}{\alpha x+\beta y+\gamma }}={\frac {a(x-x^{\star })+b(y-y^{\star })}{\alpha (x-x^{\star })+\beta (y-y^{\star })}}={\frac {a+b{\frac {y-y^{\star }}{x-x^{\star }}}}{\alpha +\beta {\frac {y-y^{\star }}{x-x^{\star }}}}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c1ca11e42ea2b5955ad158825caf1e59c895ea)
Nun gilt: Für jede Lösung der Euler-homogenen Differentialgleichung
![{\displaystyle u'=f\left({\frac {a+b{\frac {u}{x}}}{\alpha +\beta {\frac {u}{x}}}}\right)=g\left({\frac {u}{x}}\right)\ ,\ g(s):=f\left({\frac {a+bs}{\alpha +\beta s}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87d5270bd2a47770ee10d01739b0d206d310822)
ist
Lösung der ursprünglichen jacobischen Differentialgleichung, denn man erhält
![{\displaystyle y'(x)=u'(x-x^{\star })=f\left({\frac {a+b{\frac {u(x-x^{\star })}{x-x^{\star }}}}{\alpha +\beta {\frac {u(x-x^{\star })}{x-x^{\star }}}}}\right)=f\left({\frac {a+b{\frac {y(x)-y^{\star }}{x-x^{\star }}}}{\alpha +\beta {\frac {y(x)-y^{\star }}{x-x^{\star }}}}}\right)=f\left({\frac {ax+by(x)+c}{\alpha x+\beta y(x)+\gamma }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0103216e0ca57a46264e3d3cedb4ddaef702e0cf)
Somit wird das Lösen einer jacobischen Differentialgleichung auf das Lösen einer Euler-homogenen Differentialgleichung zurückgeführt.
Sei nun
. Es sind drei Fälle zu unterscheiden.
- Der Fall
![{\displaystyle b=\beta =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e057e7a9474bde36f9c36a83efb3bd2ee61fbd8b)
- Dieser Fall ist trivial, da die rechte Seite Differentialgleichung nicht mehr von
abhängt.
- Der Fall
![{\displaystyle a=\lambda \alpha ,b=\lambda \beta ,\beta \neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1629dae75249f5d92ccb5aaa34164c0d12b495f4)
- Für alle Lösungen
der separierten Differentialgleichung
![{\displaystyle z'=\alpha +\beta f\left({\frac {\lambda z+c}{z+\gamma }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd0e678301a5b64ac7856ab471f0ba13bb773e58)
- ist
Lösung der jacobischen Differentialgleichung, denn es gilt
![{\displaystyle y'(x)={\frac {1}{\beta }}(\alpha +\beta f\left({\frac {\lambda z(x)+c}{z(x)+\gamma }}\right)-\alpha )=f\left({\frac {\lambda (\alpha x+\beta y(x))+c}{\alpha x+\beta y(x)+\gamma }}\right)=f\left({\frac {ax+by(x)+c}{\alpha x+\beta y(x)+\gamma }}\right)\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8266dbd15828cb5fc60c99439c975740349fab2c)
- Also ist hier das Verfahren der Trennung der Veränderlichen anwendbar.
- Der Fall
![{\displaystyle \alpha =\beta =0,b\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c7d5810e23daef932ba9866124c27d96d1579a)
- Dies geht analog zum vorigen Fall: Für alle Lösungen
der separierten Differentialgleichung
![{\displaystyle z'=a+bf\left({\frac {z+c}{\gamma }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4925fb83d19337741e0607bf0bf04ca41e7f1453)
- ist
Lösung der jacobischen Differentialgleichung.
Gegeben sei eine Euler-homogene Differentialgleichung
.
Für jede Lösung
der separierten Differentialgleichung
![{\displaystyle z'(x)={\frac {1}{x}}(g(z)-z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93d6bf240e83f4d47531f7c76cd6f690df8ca1e)
ist
Lösung der Euler-homogenen Differentialgleichung wegen
![{\displaystyle y'(x)=z(x)+xz'(x)=g(z(x))=g\left({\frac {y(x)}{x}}\right)\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d97062753061c56b51ce0b23f051da37f9e8dbc)
Die Differentialgleichung für
kann man mit dem Verfahren der Trennung der Veränderlichen weiter behandeln.
- Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. Auflage. B.G. Teubner Stuttgart, 1995, ISBN 3-519-22227-2
- ↑ Heidrun Günzel: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Oldenbourg-Verlag, 2008, ISBN 978-3486-58555-1, S. 55