Jacobis Formel von Carl Gustav Jacob Jacobi drückt in der Analysis die Ableitungsfunktion der Determinante einer von einer Variablen
abhängenden Matrix
durch die Adjunkte von
und der Ableitung von
nach
aus.[1]
Wenn die
-Matrix
eine differenzierbare Funktion eines Parameters
ist, dann besagt der Satz:
![{\displaystyle \partial _{t}\det A=\operatorname {Sp} (\operatorname {adj} (A)\partial _{t}A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/880b886700ed738c8eb41fe01ff7e7edce9fe828)
Darin bezeichnet
die Ableitung nach
,
die Determinante,
die Spur und
die Adjunkte. Mit dem Frobenius-Skalarprodukt von Matrizen
kann das mit der Kofaktormatrix
als
![{\displaystyle \partial _{t}\det(A)=\langle \operatorname {cof} (A),\partial _{t}A\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1ded909b282cff0c20f0446c69ef25464640b3)
notiert werden. Wenn
invertierbar ist, schreibt sich das
![{\displaystyle \partial _{t}\det(A)=\det(A)\langle (A^{-1})^{\mathrm {T} },\partial _{t}A\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c037a9ef2970c5f8d5cdd74dddfaac7393466a9)
Das charakteristische Polynom einer
-Matrix
lautet
,
wobei
die Einheitsmatrix,
und
ist. Mit dem Determinantenproduktsatz zeigt sich bei
, sodass die Inverse existiert, und
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\det(A+\eta \,H)&=\det \left(\eta \,A\left(\eta ^{-1}E+A^{-1}H\right)\right)=\eta ^{n}\det(A)\det \left(\eta ^{-1}E+A^{-1}H\right)\\&=\eta ^{n}\det(A)\left(\eta ^{-n}+\eta ^{1-n}\operatorname {Sp} (A^{-1}H)+{\mathcal {O}}(\eta ^{2-n})\right)\\&=\det(A)\left(1+\eta \,\operatorname {Sp} (A^{-1}H)+{\mathcal {O}}(\eta ^{2})\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e11cb0c60654ea13ec2e318b1614f37645b22af)
worin das Landau-Symbole
Terme zusammenfasst, die
in mindestens
-ter Ordnung enthalten und die im folgenden Grenzwert nichts beitragen.
So berechnet sich die Richtungsableitung
![{\displaystyle D_{H}\det(A){:}=\lim _{\eta \to 0}{\frac {\det(A+\eta \,H)-\det(A)}{\eta }}=\det(A)\,\operatorname {Sp} (A^{-1}H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6179a67a3e0b0dc3b6a3a1dd3ea530c82023fe3)
und nach der Kettenregel die Ableitung
![{\displaystyle \partial _{t}\det(A)=\det(A)\operatorname {Sp} (A^{-1}\partial _{t}A)=\operatorname {Sp} (\operatorname {adj} (A)\partial _{t}A)=\langle \operatorname {cof} (A),\partial _{t}A\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab37fe3e4bdb24df344863c1b9396f23c3ee6e7)
Die Menge der invertierbaren Matrizen in
sind eine dichte Teilmenge des Matrizenraums
, weswegen die Formel für alle quadratischen Matrizen gilt.
Die Determinante des Deformationsgradienten
gibt das Verhältnis eines (infinitesimal kleinen) Volumens eines Körpers im Ausgangszustand
und in seinem aktuellen deformierten Zustand
:
.
Die Zeitableitung hiervon ist nach Jacobis Formel
![{\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}\det F&=\langle \operatorname {cof} F,\partial _{t}F\rangle \\&=\det F\langle (F^{-1})^{\mathrm {T} },\partial _{t}F\rangle \\&=\det F\operatorname {Sp} (F^{-1}\partial _{t}F)\\&=\det F\operatorname {Sp} l\\&=\det F\operatorname {div} {\vec {v}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15962da8ba1b6fbaf3ba26227c5003ed32fb0cbf)
Darin ist
der Geschwindigkeitsgradient, dessen Spur die Divergenz der Strömungsgeschwindigkeit
ist. Diese Divergenz gibt die Quellendichte in der Strömung an, die demnach genau dann verschwindet, wenn die Determinante des Deformationsgradienten zeitlich konstant ist.
- ↑
Jan R. Magnus, Heinz Neudecker: Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics. Wiley, 1999, ISBN 0-471-98633-X, S. 149 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).