Innere Metrik

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In der Mathematik misst die innere Metrik oder Längenmetrik die Längen minimaler Verbindungswege zwischen Punkten.

Es sei ein metrischer Raum. Die zu assoziierte innere Metrik (oder Längenmetrik) ist definiert als

für , wobei das Infimum über alle rektifizierbaren Kurven mit genommen wird und die durch

definierte Länge der Kurve ist.

Geodätische metrische Räume

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Ein metrischer Raum heißt geodätischer metrischer Raum (auch Längenraum oder innerer metrischer Raum), wenn ist, also wenn die innere Metrik mit der Metrik übereinstimmt.

für definierte Metrik. Wenn geodätisch vollständig ist, dann ist . (Siehe Satz von Hopf-Rinow.)
  • Es sei , für und . Die Einschränkung von auf definiert einen metrischen Raum . Die assoziierte innere Metrik auf ist
.
  • Bridson, Martin R.; Haefliger, André: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 319. Springer-Verlag, Berlin, 1999. ISBN 3-540-64324-9
  • A. Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 6, European Mathematical Society 2005, 2nd ed. 2014.
  • Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volume I, 908 p., Springer International Publishing, 2018.
  • Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volume II, 842 p., Springer International Publishing, 2018.