Idelegruppe

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Die Idelegruppe und die Idelklassengruppe stellen in der Mathematik zentrale Objekte der Klassenkörpertheorie dar.

In der lokalen Klassenkörpertheorie spielt die multiplikative Gruppe des lokalen Körpers eine wichtige Rolle. In der globalen Klassenkörpertheorie wird diese Rolle von der Idelklassengruppe übernommen, welche der Quotient aus den Einheiten des Adelerings und den Einheiten des Körpers ist. Der Begriff des Idels ist eine Abänderung des Idealbegriffs, wobei beide Begriffe in Beziehung zueinander stehen, siehe dazu den Satz über den Zusammenhang zwischen der Ideal- und der Idelklassengruppe. Der Idelbegriff wurde in 1936 und 1941 von dem französischen Mathematiker Claude Chevalley veröffentlichten Arbeiten unter dem Namen „ideal element“ (abgekürzt: id.el.) eingeführt.

Verallgemeinerungen des Artinschen Reziprozitätsgesetzes führen zur Verbindung von automorphen Darstellungen und Galois-Darstellungen von (Langlands-Programm). Genauer operiert die absolute Galoisgruppe auf der algebraischen De-Rham-Kohomologie von Shimura-Varietäten mit Werten in der Idelgruppe. Diese Darstellungen sind Hodge-Tate mit Gewichten (1,2).

Die Idelegruppe, speziell die Idelklassengruppe, findet Anwendung in der Klassenkörpertheorie, welche sich mit abelschen Körpererweiterungen von beschäftigt. Das Produkt der lokalen Reziprozitätskarten in der Klassenkörpertheorie gibt einen Homöomorphismus von der Idelegruppe in die Galoisgruppe der maximalen abelschen Erweiterung über einem algebraischen Zahlkörper. Das Artinsche Reziprozitätsgesetz, welches eine Verallgemeinerung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes von Gauß ist, besagt, dass das Produkt in der multiplikativen Gruppe des Zahlkörpers verschwindet. Daher erhalten wir die globale Reziprozitätskarte der Idelklassengruppe von dem abelschen Teil der absoluten Galoisgruppe der Körpererweiterung.

Notation: Im Folgenden ist ein globaler Körper. Das bedeutet, dass entweder ein algebraischer Zahlkörper oder ein algebraischer Funktionenkörper positiver Charakteristik vom Transzendenzgrad 1 ist. Im ersten Fall bedeutet das, dass eine endliche Körpererweiterung ist, im zweiten Fall, dass eine endliche Körpererweiterung ist. Im Folgenden bezeichnet eine Stelle von Die triviale Bewertung und der dazu korrespondierende triviale Betrag werden im kompletten Artikel ausgeschlossen. Es wird unterschieden zwischen endlichen (nicht-archimedischen) Stellen, welche als oder notiert werden und unendlichen (archimedischen) Stellen, welche als notiert werden. Im Folgenden bezeichne die endliche Menge der unendlichen Stellen von Wir schreiben für eine endliche Teilmenge der Stellenmenge von welche enthält. Sei die Vervollständigung von nach einer Stelle Bei einer diskreten Bewertung bezeichne mit den zugehörigen diskreten Bewertungsring von und mit das maximale Ideal von Ist dieses ein Hauptideal, so schreibe für ein uniformisierendes Element. Der Leser sei weiterhin auf die eineindeutige Identifikation von Beträgen und Bewertungen eines Körpers hingewiesen bei Fixierung einer geeigneten Konstante Die Bewertung wird dem Betrag zugeordnet, welcher wie folgt definiert wird:

Umgekehrt wird dem Betrag die Bewertung zugeordnet, welche wie folgt definiert ist: für alle Diese Identifikation wird im Artikel laufend verwendet.

Definition der Idelegruppe eines globalen Körpers K

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Topologie auf der Einheitengruppe eines topologischen Rings

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Sei ein topologischer Ring. Dann bildet mit der Teilraumtopologie im Allgemeinen keine topologische Gruppe. Wir installieren deshalb auf die folgende, gröbere Topologie, was bedeutet, dass weniger Mengen offen sind: Betrachte die Inklusionsabbildung

Wir installieren auf die Topologie, die von der entsprechenden Teilraumtopologie auf erzeugt wird. Das heißt, wir installieren auf die Teilraumtopologie der Produkttopologie. Eine Menge ist per Definition genau dann offen in der neuen Topologie, wenn in der Teilraumtopologie offen ist. Mit dieser Topologie wird eine topologische Gruppe und die Inklusionsabbildung wird stetig. Es ist die gröbste Topologie, welche aus der Topologie von entsteht und die zu einer topologischen Gruppe macht.

Beweis: Man nehme den topologischen Ring Dann ist die Inversionsabbildung nicht stetig. Dies kann an folgendem Beispiel eingesehen werden: Betrachte die Folge

Diese Folge konvergiert in der -Topologie gegen das Einsadel, denn für eine gegebene Umgebung der können wir annehmen, dass die folgende Form hat:

Weiterhin gilt, dass für alle und daher für alle Es folgt, dass für alle groß genug. Das Bild dieser Folge unter der Inversionsabbildung konvergiert nicht mehr in der Teilraumtopologie von (vgl. das Lemma über den Unterschied zwischen der restringierten und unrestringierten Produkttopologie). In dieser neuen Topologie konvergiert weder die Folge noch ihre Inverse. Dieses Beispiel zeigt insbesondere, dass die beiden Topologien verschieden sind. Wir installieren also auf den Einheiten die oben beschriebene Topologie. Mit dieser Topologie wird eine topologische Gruppe. Es bleibt die Stetigkeit der Inversionsabbildung zu zeigen. Sei eine beliebige, offen Menge in der oben definierten Topologie, d. h. ist offen. Zu zeigen ist, dass offen ist, d. h. zu zeigen ist, dass offen ist. Dies ist nach Voraussetzung der Fall.

Die Idelegruppe eines globalen Körpers K

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Sei ein globaler Körper. Die Einheitengruppe des Adelerings ist die sogenannte Idelegruppe von , welche im Folgenden mit

bezeichnet wird. Definiere weiterhin

Wir installieren auf der Idelegruppe die Topologie, die wir im Abschnitt zuvor definiert haben. Dadurch wird die Idelegruppe eine topologische Gruppe.

Die Idelegruppe als restringiertes Produkt

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Sei ein globaler Körper. Es gilt:

wobei die Gleichheit im Sinne topologischer Ringe zu verstehen ist. Das restringierte Produkt trägt die restringierte Produkttopologie, welche erzeugt wird von den restringierten offenen Rechtecken. Diese haben die folgende Gestalt:

wobei eine endliche Teilmenge aller Stellen ist und beliebige, offene Mengen sind.

Beweis: Wir führen den Beweis für Die anderen beiden Aussagen folgen analog. Zuerst überlegen wir uns die Mengengleichheit. Betrachte dazu folgende Gleichungskette:

Beim Übergang von Zeile 2 zu 3 ist zu beachten, dass sowohl als auch in sein sollen, also für fast alle und für fast alle also insgesamt für fast alle Als Nächstes überlegen wir uns, dass die beiden Topologien übereinstimmen. Offensichtlich ist jedes restringierte offene Rechteck auch offen in der Topologie der Idelegruppe. Andererseits sei offen in der Topologie der Idelegruppe, d. h. ist offen. Es folgt, dass für jedes ein restringiertes offenes Rechteck existiert, welches enthält und in liegt. Also ist als Vereinigung restringierter offener Rechtecke darstellbar, also offen in der restringierten Produkttopologie.

Weitere Definitionen

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Unter Verwendung der bisherigen Notation, definiere

und als die entsprechende Einheitengruppe. Es gilt dann

Die Idelegruppe I(L) bei einer Körpererweiterung L/K

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Alternative Beschreibung der Idelegruppe im Fall L/K

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Sei ein globaler Körper und sei eine endliche Körpererweiterung. Dann ist wieder ein globaler Körper und die Idelegruppe ist definiert. Definiere

Beachte, dass beide Produkte endlich sind. Es gilt dann:

Einbettung der Idelegruppe von K in die Idelegruppe von L

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Es gibt eine kanonische Einbettung der Idelegruppe von in die Idelegruppe von Dem Idel wird das Idel mit für zugeordnet. Deshalb kann als Untergruppe von aufgefasst werden. Ein Element liegt also genau dann in der Untergruppe wenn seine Komponenten erfüllen für und wenn weiterhin gilt, dass für und für die gleiche Stelle von

Die Idelegruppe einer K-Algebra A

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Sei eine endlichdimensionale -Algebra, wobei ein globaler Körper ist. Betrachte die Einheitengruppe von Die Abbildung ist im Allgemeinen nicht stetig in der Teilraumtopologie. Somit bilden die Einheiten keine topologische Gruppe. Wir statten deswegen mit der Topologie aus, die wir in dem Abschnitt über die Einheiten auf topologischen Ringen definiert haben. Mit dieser Topologie versehen, nennen wir die Einheitengruppe von die Idelegruppe von Die Elemente der Gruppe werden die Idele von genannt.

Sei eine endliche Teilmenge von welche eine -Basis von enthält. Sei wieder der -Modul, der von in erzeugt wird. Wie bereits bei der Betrachtung des Adelerings, existiert eine endliche Teilmenge der Stellenmenge, welche enthält, so dass für alle gilt, dass ein kompakter Unterring von ist und die Einheiten enthält. Weiterhin gilt für jedes dass eine offene Teilmenge von ist und dass die Abbildung stetig auf ist. Es folgt, dass die Abbildung die Gruppe homöomorph auf ihr Bild unter dieser Abbildung in abbildet. Für sind diejenigen Elemente von welche unter der obigen Abbildung auf abgebildet werden. Somit ist eine offene und kompakte Untergruppe von Der Beweis dieser Aussage findet sich in Weil (1967), S. 71ff.

Diese Betrachtungen lassen sich insbesondere auf die Endomorphismenalgebren von Vektorräumen anwenden. Sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum, wobei ein globaler Körper ist. Sei Dies ist eine -Algebra. Es gilt: wobei eine lineare Abbildung genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante von verschieden ist. Wenn ein topologischer Körper ist, dann ist eine offene Teilmenge von denn Da abgeschlossen ist und stetig ist, ist offen. Mit kann man dann wie oben die Idele von betrachten.

Alternative Charakterisierung der Idelegruppe: Sei die Situation wie zuvor: Sei eine endliche Teilmenge der Stellenmenge welche enthält. Dann ist

eine offene Untergruppe von wobei als Vereinigung der geschrieben werden kann, und wobei alle endlichen Teilmengen der Stellenmenge durchläuft. Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Weil (1967), S. 72.

Im Spezialfall erhält man Folgendes. Für jede endliche Teilmenge der Stellenmenge von welche enthält, ist die Gruppe

eine offene Untergruppe von Es gilt weiterhin, dass die Vereinigung aller dieser Untergruppen ist.

Die Spur kann nicht ohne weiteres auf die Idelegruppe übertragen werden, die Norm allerdings schon. Sei dazu Dann ist also haben wir einen injektiven Gruppenhomomorphismus

Da und somit invertierbar ist, so ist auch invertierbar, da Es gilt also, dass Folglich liefert die Einschränkung der Normabbildung die folgende Abbildung:

Diese ist stetig und erfüllt ebenfalls die Eigenschaften der Norm aus dem Lemma über die Eigenschaften von Spur und Norm.

K* ist eine diskrete Untergruppe von I(K)

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Die Einheiten des globalen Körpers können diagonal in die Idelegruppe eingebettet werden:

Da für alle gilt, folgt die Wohldefiniertheit und Injektivität dieser Abbildung wie beim entsprechenden Satz über den Adelering.

Weiterhin gilt, dass die Untergruppe diskret (und damit insbesondere abgeschlossen) in ist. Diese Tatsache folgt analog wie bei dem entsprechenden Satz über den Adelering.

Insbesondere ist eine diskrete Untergruppe von

Die Idelklassengruppe

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In der algebraischen Zahlentheorie wird für einen gegebenen Zahlkörper die Idealklassengruppe betrachtet. Analog dazu definiert man den Begriff der Idelklassengruppe wie folgt.

In Analogie zum Begriff des Hauptideals werden die Elemente von in als Hauptidele von bezeichnet. Der Quotient, also die Faktorgruppe wird die Idelklassengruppe von genannt. Diese steht in Zusammenhang mit der Idealklassengruppe (vgl. den Satz über den Zusammenhang zwischen der Ideal- und der Idelklassengruppe) und ist Hauptgegenstand bei den Betrachtungen in der Klassenkörpertheorie.

Da abgeschlossen in ist, folgt, dass eine lokalkompakte, hausdorffsche, topologische Gruppe ist.

Für eine endliche Körpererweiterung globaler Körper induziert die Einbettung eine injektive Abbildung auf den Idelklassengruppen:

Die Wohldefiniertheit der Abbildung folgt, da die Injektion offensichtlich auf eine Untergruppe von abbildet. Die Injektivität wird in Neukirch (2007), S. 388 gezeigt.

Die Idelegruppe ist eine lokalkompakte, topologische Gruppe

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Für jede Teilmenge der Stellenmenge von ist mit der Topologie der Idelegruppe eine lokalkompakte topologische Gruppe. Mit der Teilraumtopologie wird im Allgemeinen keine topologische Gruppe, da die Inversionsabbildung nicht stetig ist.

Dieser Satz folgt aus der Lokalkompaktheit des Adelerings, der Konstruktion der Ideletopologie und der Darstellung der Idelegruppe als restringiertes Produkt.

Da die Idelegruppe mit der Multiplikation eine lokalkompakte Gruppe bilden, existiert ein Haarmaß auf dieser Gruppe. Dieses kann so normalisiert werden, dass Dies ist die Normalisierung an den endlichen Stellen. Hierbei bezeichnet die Menge der endlichen Idele, also die Einheitengruppe der Menge der endlichen Adele. An den unendlichen wird das multiplikative Lebesgue-Maß genommen.

Eine Einsumgebungsbasis der Idelegruppe ist durch eine Einsumgebungsbasis von gegeben. Alternativ bilden auch alle Mengen der folgenden Form eine Einsumgebungsbasis:

wobei eine Umgebung der in ist und für fast alle

Betrag auf I(K) und die Menge der 1-Idele von K

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Sei ein globaler Körper. Auf der Idelegruppe installieren wir einen Betrag wie folgt: Für ein gegebenes Idel definiere:

Da ist dieses Produkt endlich und damit wohldefiniert. Die Definition des Betrages lässt sich auf den Adelering ausdehnen, wenn wir unendliche Produkte zulassen, wobei die Konvergenz in betrachtet wird. Diese Produkte werden alle so dass der ausgedehnte Betrag auf verschwindet. Im Folgenden bezeichne die Betragsabbildung auf bzw.

Es gilt nun, dass die Betragsabbildung ein stetiger Gruppenhomomorphismus ist, d. h. die Abbildung ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus. Dies kann durch folgende Rechnung eingesehen werden: Seien und Dann gilt:

wobei beim Übergang von Zeile 3 in Zeile 4 benutzt wurde, dass alle auftretenden Produkte endlich sind. Die Stetigkeit der Abbildung folgt, indem man Folgenstetigkeit zeigt und ausnutzt, dass die Betragsabbildung auf stetig ist. Dies kann man mit der umgekehrten Dreiecksungleichung einsehen. Aufgrund der restringierten Produkttopologie werden effektiv nur endlich viele Stellen betrachtet und die Behauptung folgt.

Wir definieren nun die Menge der -Idele wie folgt:

Die Gruppe der -Idele sind eine Untergruppe von In der Literatur wird auch für die Gruppe der -Idele verwendet. Im Folgenden wird die Notation verwendet.

Es gilt nun, dass eine abgeschlossene Teilmenge von ist, denn

Die -Topologie auf stimmt mit der Teilraumtopologie von auf überein. Diese Aussage findet sich in Cassels (1967), S. 69f.

Allgemeine Produktformel

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Sei ein globaler Körper. Für den Homomorphismus von nach gilt: Mit anderen Worten bedeutet das, dass für alle Die Produktformel impliziert, dass ist. Dieser Satz ist in der Literatur als „Artin's product formula“ (Artins Produktformel) bekannt.

Es gibt viele Beweise dieser Aussage. Dieser hier orientiert sich an Neukirch (2007), S. 195. Er findet sich auch in Cassels (1967), S. 61. Die wesentliche Idee des Beweises ist es, die allgemeine Produktformel im algebraischen Zahlkörperfall auf den Spezialfall zurückzuführen. Der Funktionenkörperfall geht ähnlich.

Sei beliebig. Zu zeigen ist:

Es ist und damit für jedes für welches das zugehörige Primideal nicht in der Primidealzerlegung des Hauptideals auftritt. Dies ist für fast alle so. Es gilt nun:

wobei beim Übergang von Zeile 1 in Zeile 2, die allgemein gültige Gleichung benutzt wurde, wobei eine Stelle von und Stelle von ist, welche über liegt. Beim Übergang von Zeile 2 in Zeile 3 wurde eine Eigenschaft der Norm ausgenutzt. Man beachte, dass die Norm in ist. Wir können daher ohne Einschränkung annehmen, dass ist. Dann hat eine eindeutige Primzerlegung:

wobei fast immer Der Satz von Ostrowski besagt, dass die Beträge auf bis auf Äquivalenz genau die -Beträge und sind. Es folgt, dass

Es gibt noch weitere Beweise der Produktformel, welche in der Literatur zu finden sind.

Charakterisierung von A(End(E))*

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Sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Setze Sei weiterhin Dann sind folgende Aussagen äquivalent

  • ist ein Automorphismus von

Wenn einer der drei Punkte erfüllt ist, dann gilt, dass Weiterhin gilt, dass die Zuordnungen und Homomorphismen sind von nach bzw. Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Weil (1967), S. 73f.

Insbesondere erhält man für eine endlichdimensionale -Algebra und die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

  • ist ein Automorphismus der additiven Gruppe

Wenn einer der drei Punkte erfüllt ist, dann gilt, dass Weiterhin gilt, dass die Zuordnungen und Homomorphismen sind von nach bzw. Mit diesem Satz ist ein alternativer Beweis der Produktformel möglich, vgl. Weil (1967), S. 75.

K* ist eine diskrete und kokompakte Untergruppe in der Menge der 1-Idele

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Bevor wir den Satz formulieren können, brauchen wir folgende Hilfsaussage:

Lemma: Sei ein globaler Körper. Es gibt eine Konstante welche nur vom globalen Körper abhängt, so dass für alle mit der Eigenschaft ein existiert, sodass für alle

Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Cassels (1967), S. 66 Lemma.

Korollar: Sei ein globaler Körper, sei eine Stelle von und sei gegeben für alle Stellen so dass für fast alle gilt. Dann gibt es ein sodass für alle

Beweis: Nach dem Lemma zuvor existiert eine Konstante die nur von unserem (fixierten) globalen Körper abhängt. Wir bezeichnen mit uniformisierende Elemente der entsprechenden Ganzzahlringe Definiere nun das Adel via mit minimal so, dass für alle Dann ist fast immer. Definiere mit so dass Dies geht, weil für fast alle ist. Nach dem obigen Lemma existiert ein sodass für alle gilt.

Nun zum eigentlichen Satz:

Satz: Sei ein globaler Körper. ist diskret in und der Quotient ist kompakt.

Beweis: Die Diskretheit von in impliziert die Diskretheit von in

Es bleibt zu zeigen, dass kompakt ist. Dieser Beweis findet sich unter anderem in Weil (1967), S. 76 oder in Cassels (1967), S. 70. Im Folgenden wird Cassels (1967) Beweisidee wiedergegeben: Es reicht die Existenz einer kompakten Menge zu zeigen, sodass die natürliche Projektion surjektiv ist, da die natürliche Projektion eine stetige Abbildung ist. Sei nun mit der Eigenschaft gegeben, wobei die Konstante des eingangs formulierten Lemmas ist. Definiere

Offensichtlich ist kompakt. Sei nun in gegeben. Wir zeigen, dass ein existiert, sodass Per Definition der Menge der -Idele gilt, dass

und deshalb

Es folgt, dass

Wegen des vorigen Lemmas existiert ein so dass für alle Es folgt, dass Damit folgt die Behauptung.

Einige Isomorphismen im Fall K=Q

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Im Fall gibt es einen kanonischen Isomorphismus Weiterhin gilt, dass ein Vertretersystem von ist. Das bedeutet, dass Ferner werden durch den Betrag folgende Isomorphismen topologischer Gruppen induziert:

Es folgt, dass ein Vertretersystem von ist. Dieser Satz ist Teil des Satzes 5.3.3 auf Seite 128 in Deitmar (2010).

Beweis: Definiere die Abbildung via Diese Abbildung ist offensichtlich wohldefiniert, da für alle und somit gilt. Die Abbildung ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus. Für die Injektivität sei Daher existiert ein so dass Durch einen Vergleich an der unendlichen Stelle, folgt und daher Für die Surjektivität sei gegeben. Da der Betrag dieses Elements ist, ist Es folgt, dass Also ist und damit ist die Abbildung surjektiv, denn für alle vgl. die Darstellung von Die weiteren Isomorphismen sind gegeben durch: via und via Der Nachweis, dass es sich hierbei um Isomorphismen handelt, sei dem Leser zur Übung überlassen.

Zusammenhang zwischen Idealklassengruppe und Idelklassengruppe

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Für einen algebraischen Zahlkörper definieren wir Es gilt nun:

Hierbei bezeichnet die Gruppe der gebrochenen Ideale in mit dem Produkt zweier Ideale als Gruppenverknüpfung. Dadurch wird eine Gruppe, die sogenannte Idealgruppe von Wir schreiben für die Idealklassengruppe des Dedekindrings also ist der Ganzzahlring des algebraischen Zahlkörpers Per Definition gilt nun

Beweis: Im Folgenden benutzen wir die Tatsachen, dass es für einen algebraischer Zahlkörper eine eineindeutige Beziehung zwischen den endlichen Stellen von und dem Primidealen ungleich Null von gibt:

Sei eine endliche Stelle von und sei ein Repräsentant der Äquivalenzklasse Definiere

Dann ist ein Primideal in Die Abbildung ist eine Bijektion zwischen der Menge aller endlichen Stellen von und der Menge der Primideale von Die Umkehrabbildung ist gegeben durch:

Einen gegebenen Primideal wird die Bewertung zugeordnet, welche gegeben ist durch

Nun zum eigentlichen Beweis. Die folgende Abbildung ist wohldefiniert:

wobei das zur Stelle zugehörige Primideal ist. Die Abbildung ist offensichtlich ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Es gilt, dass Der erste Isomorphismus aus dem Satz folgt nun mit dem Homomorphiesatz.

Jetzt dividieren wir auf beiden Seiten heraus. Dies ist möglich, da

für alle Man beachte den Missbrauch der Notation: Auf der linken Seite in Zeile 1 steht die Klammer für die zuvor definierte Abbildung. Anschließend wird die Einbettung von in benutzt. In Zeile 2 wird die Definition der Abbildungsvorschrift angewendet und schließlich benutzen wir in Zeile 3 die Tatsache, dass der Ganzzahlring ein Dedekindring ist und somit jedes Ideal, insbesondere das Hauptideal in Primfaktoren zerlegt werden kann. Die Abbildung ist also ein -äquivarianter Gruppenhomomorphismus. Folglich induziert uns die obige Abbildung einen surjektiven Homomorphismus

Wir zeigen nun, dass gilt. Sei Dann ist da für alle Sei nun umgekehrt mit Dann folgt Es gibt also einen Vertreter für den gilt: Folglich gilt und deswegen Der zweite Isomorphismus aus dem Satz ist damit bewiesen.

Um den letzten Isomorphismus aus dem Satz zu zeigen, bemerken wir, dass die Abbdilung einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

induziert. Es gilt, dass Damit ist der Satz gezeigt.

Bemerkung: Die Abbildung ist stetig im folgenden Sinne: Auf haben wir die gewöhnliche Ideletopologie. Auf installieren wir die diskrete Topologie. Die Stetigkeit folgt, wenn wir zeigen können, dass offen ist für jedes Nun ist offen, wobei sodass

Zerlegung von I(K) und C(K)

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Sei ein globaler Körper. Falls Charakteristik hat, dann ist Falls Charakteristik hat, dann ist wobei eine abgeschlossene Untergruppe von ist, welche isomorph zu ist. Weiterhin gilt:

wobei falls oder falls ist.

Beweis: Sei die Charakteristik von gleich Für jede Stelle von gilt, dass die Charakteristik von gleich ist, so dass für jedes in der Untergruppe von ist, welche von erzeugt wird. Folglich gilt dies auch für jedes wobei Das ist gleichbedeutend damit, dass das Bild des Homomorphismus eine diskrete Untergruppe von ist, welche in liegt. Da diese nicht trivial, d. h. ist, ist sie von einem erzeugt, für ein Wähle so dass Dann ist das direkte Produkt von und der Untergruppe, welche von erzeugt wird, diskret ist und damit isomorph ist.

Ist die Charakteristik von gleich so schreibe für das Idel für das an den endlichen Stellen von gilt und an allen unendlichen Stellen von gilt. Hierbei ist Dann ist die Abbildung ein Isomorphismus von in eine abgeschlossene Untergruppe von und es gilt Der Isomorphismus ist gegeben durch Multiplikation:

Offensichtlich ist ein Homomorphismus. Zur Injektivität: Sei Da für folgt für Weiterhin existiert ein so dass für Daraus folgt, dass für Da zusätzlich noch ist, folgt, dass ist, wobei die Anzahl der unendlichen Stellen von ist. Es folgt und damit die Injektivität. Für die Surjektivität sei gegeben. Wir definieren und weiterhin definieren wir für und für Definiere Es gilt nun, dass Es folgt die Surjektivität.

Die 2. Aussage folgt mit einer ähnlichen Betrachtung.

Charakterisierung der Idelegruppe

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Sei ein algebraischer Zahlkörper. Es existiert eine endliche Stellenmenge von sodass gilt:

Beweis: Wir benutzen als Voraussetzung, dass die Klassenzahl endlich ist. Seien Ideale, die die Klassen in repräsentieren. Diese setzen sich aus endlich vielen Primidealen zusammen. Sei nun eine endliche Primstellenmenge, die zu dieser Primideale gehörende Stellen und die unendlichen Stellen enthält. Es ist zu beachten, dass wir die eineindeutige Identifikation zwischen Primstellen und Stellen des Körpers ausnutzen. Dann erfüllt die Behauptung aus dem Satz. Um dies einzusehen, benutzen wir den folgenden Isomorphismus

welcher durch die Abbildung induziert wird.

Wir zeigen im Folgenden die Behauptung des Satzes nur an den endlichen Stellen, da sie an den unendlichen Stellen klar ist.

Die Inklusion „“ ist klar.

Sei nun so gehört das zugeordnete Ideal einer Klasse an, d. h. mit einem Hauptideal Das Idel wird unter unserer Abbildung auf das Ideal abgebildet. Das bedeutet, dass Da die in auftretenden Primideale in liegen, ist für alle (hier werden wieder Primideale und Stellen miteinander identifiziert), d. h. für alle Daher ist also

In Weil (1967), S. 77 wird obiges Theorem für einen beliebigen globalen Körper gezeigt.