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Dies ist eine Formelsammlung zu dem mathematischen Teilgebiet analytische Geometrie.
Im Folgenden werden durchnummerierte kartesische Koordinaten
(gleichwertig zu
),
(gleichwertig zu
),
(gleichwertig zu
) verwendet. Vektoren werden in Pfeilschreibweise notiert. Ortsvektoren werden mit demselben Großbuchstaben bezeichnet wie die entsprechenden Punkte. Das Skalarprodukt wird durch
ausgedrückt, das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) durch
.
Im Folgenden habe der Punkt
die Koordinaten
; die Punkte
in dieser Reihenfolge
Punkte werden durch kartesische Koordinaten oder durch Ortsvektoren beschrieben.
Koordinatendarstellung eines Punktes
oder ![{\displaystyle P(p_{1},p_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/516982ffa733a34f9631a9081e978eed983e44ed)
Ortsvektor des Punktes
:
![{\displaystyle {\vec {P}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abbc08e669ab991389e80ec3b3dd499534fb0003)
Verbindungsvektor zweier Punkte
:
![{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\vec {B}}-{\vec {A}}={\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875c8528a2121033f3e9077a49fddcfa35635600)
Mittelpunkt der Strecke
(als Ortsvektor):
![{\displaystyle {\vec {M}}={\tfrac {1}{2}}\left({\vec {A}}+{\vec {B}}\right)={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34bcef864f38b7ff6c9941d6d2f41b376330c2ef)
Teilungspunkt : Der Punkt, der die Strecke
im Verhältnis
teilt:
![{\displaystyle {\vec {T}}={\frac {1}{1+\lambda }}\left({\vec {A}}+\lambda {\vec {B}}\right)={\frac {1}{1+\lambda }}{\begin{pmatrix}a_{1}+\lambda b_{1}\\a_{2}+\lambda b_{2}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca81f7ad96f300257604a5ce50a317f5e06280d3)
Schwerpunkt eines Dreiecks
:
![{\displaystyle {\vec {S}}={\tfrac {1}{3}}\left({\vec {A}}+{\vec {B}}+{\vec {C}}\right)={\tfrac {1}{3}}{\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}+c_{1}\\a_{2}+b_{2}+c_{2}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d7072411d1f3633a5f782ce65b172abecdf8e5)
Parametergleichung der Geraden (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt
mit dem Richtungsvektor
:
![{\displaystyle {\vec {X}}={\vec {A}}+\lambda {\vec {u}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b162392070bfa89468cf6c1076792d22b1289a6)
Der Parameter
kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und
darf nicht der Nullvektor sein.
Parametergleichung der Geraden (Zwei-Punkte-Form) durch die Punkte
:
![{\displaystyle {\vec {X}}={\vec {A}}+\lambda \left({\vec {B}}-{\vec {A}}\right)={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/457d66f8d6ab714ffe09ee4790dcc5bc499c89e0)
Der Parameter
kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und .
und
müssen verschieden sein.
Normalengleichung der Geraden durch den Punkt
mit dem Normalenvektor
in vektorieller Schreibweise:
bzw. ![{\displaystyle {\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}-a_{1}\\x_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5d76325e990adace9b4e877ddcf5753dbffff69)
Koordinatengleichung, explizite Form der Geraden mit der Steigung
durch den Punkt
der
-Achse:
![{\displaystyle \,x_{2}=mx_{1}+t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6ce1499b7b1acbcc69babcacc7c6a525917f00a)
Einschränkung: Die Gerade darf nicht parallel zur
-Achse sein.
Koordinatengleichung, Achsenabschnittsform der Geraden durch die Punkte
(auf der
-Achse) und
(auf der
-Achse):
![{\displaystyle {\frac {x_{1}}{s}}+{\frac {x_{2}}{t}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d04bf312624c6a7f544df1e7af891a5b813ebd6)
Einschränkung: Die gegebenen Punkte dürfen nicht mit dem Ursprung übereinstimmen, d. h. es muss
und
gelten.
Abstand der Punkte
:
![{\displaystyle {\overline {AB}}=\left|{\vec {B}}-{\vec {A}}\right|={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/503e1f73afeabf572bba1f6aba81db962774c234)
Abstand des Punktes
von der Geraden
mit der Normalengleichung
(siehe Hessesche Normalform):
![{\displaystyle d(P,g)={\frac {\left|n_{1}p_{1}+n_{2}p_{2}+n_{0}\right|}{\sqrt {{n_{1}}^{2}+{n_{2}}^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9842151b9b194e4d782c9dd3662dd69e85402a20)
Abstand zweier paralleler Geraden
und
mit den Normalengleichungen
bzw.
:
![{\displaystyle d(g,g')={\frac {\left|n_{0}-n_{0}'\right|}{\sqrt {{n_{1}}^{2}+{n_{2}}^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6712b7e1752f0dfb8e2091a33fb9b5a3f492aff4)
Orthogonalprojektion eines Punkts
auf eine Gerade
in Parameterform
:
![{\displaystyle {\vec {P}}_{g}={\vec {A}}+{\frac {({\vec {B}}-{\vec {A}})\cdot {\vec {u}}}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}\,{\vec {u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16d8ba26efd16c626be45fcef8b1f7a90a393a5)
Orthogonalprojektion eines Punkts
auf eine Gerade
in Normalenform
:
![{\displaystyle {\vec {P}}_{g}={\vec {B}}-{\frac {({\vec {B}}-{\vec {A}})\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {n}}}}\,{\vec {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da22393e6468130b9855ed03b66b884bc951b44d)
Parallelprojektion in Richtung
eines Punkts
auf eine Gerade
in Normalenform
:
![{\displaystyle {\vec {P}}_{g,{\vec {v}}}={\vec {B}}-{\frac {({\vec {B}}-{\vec {A}})\cdot {\vec {n}}}{{\vec {v}}\cdot {\vec {n}}}}\,{\vec {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea26f7c8a55105332260e1566c334c32e02173c)
Schnittwinkel (kleinerer Winkel)
zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren
und
(vergleiche Skalarprodukt):
![{\displaystyle \cos \epsilon ={\frac {\left|{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right|}{\left|{\vec {u}}\right|\left|{\vec {v}}\right|}}={\frac {\left|u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}\right|}{{\sqrt {{u_{1}}^{2}+{u_{2}}^{2}}}{\sqrt {{v_{1}}^{2}+{v_{2}}^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9bdf85d5eb25f9a74d9433659d1a566966f60f)
Fläche des Dreiecks
(siehe Kreuzprodukt):
![{\displaystyle {\begin{aligned}F_{ABC}&={\tfrac {1}{2}}\left|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}}\right|={\tfrac {1}{2}}\left|\left({\vec {B}}-{\vec {A}}\right)\times \left({\vec {C}}-{\vec {A}}\right)\right|\\&={\tfrac {1}{2}}\left|(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})+(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})+(c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1})\right|\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c314bae2d27e6ee88182ebd572029a9e4ff18091)
Fläche des nicht überschlagenen Polygons mit den Ecken
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}A={\Big |}{\tfrac {1}{2}}\cdot &\left(p_{11}p_{22}+p_{21}p_{32}+\dotsb +p_{n-1,1}p_{n2}+p_{n1}p_{12}\right.\\&-\left.p_{21}p_{12}-p_{31}p_{22}-\dotsb -p_{n1}p_{n-1,2}-p_{11}p_{n2}\right){\Big |}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e69d6ff39b1389e9b9659d29c390b00dfaf3549)
Gleichung des Kreises in kartesischen Koordinaten:
![{\displaystyle {x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372dc60dbad205fc375f3bc15118c16c249eff12)
- allgemein: Mittelpunkt in
, Radius ![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
![{\displaystyle (x-c)^{2}+(y-d)^{2}=r^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dde2551b6c1997791391cb493e2062a176db394)
in Parameterform (allgemein):
mit ![{\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc01113133d5e7f6342e1a4d738e0d84e57b54d)
Gleichung des Kreises durch drei Punkte
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97186091efae737400aa14449751f0c9ed02ee88)
Gleichung der Kreistangente im Punkt
- Einheitskreis
![{\displaystyle \,b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969f7af0657fb0cbda0ded60f1b06af25a49b26f)
- Allgemein:
![{\displaystyle (x-c)(b_{1}-c)+(y-d)(b_{2}-d)=r^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515df57a8ce5a88c682d32ad05cdca79ea6db508)
Schnittpunkt der Geraden
mit dem Kreis
:
![{\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {cm}{1+m^{2}}}\pm {\frac {1}{1+m^{2}}}{\sqrt {r^{2}(1+m^{2})-c^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4914817527dc60774ab4b1dd42032d4d2653f5)
![{\displaystyle y_{1,2}={\frac {c}{1+m^{2}}}\pm {\frac {m}{1+m^{2}}}{\sqrt {r^{2}(1+m^{2})-c^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fed6e3a9cd88d3b93d24d4e0c06a0bb439a67385)
Mittelpunkt
des Kreises durch drei Punkte
die nicht auf einer Geraden liegen:
![{\displaystyle {\vec {X}}=\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\begin{array}{ccc}x_{1}-x_{3}&y_{1}-y_{3}\\x_{2}-x_{3}&y_{2}-y_{3}\end{array}}\right)^{-1}\left({\begin{array}{c}{\vec {P}}_{1}\cdot {\vec {P}}_{1}-{\vec {P}}_{3}\cdot {\vec {P}}_{3}\\{\vec {P}}_{2}\cdot {\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{3}\cdot {\vec {P}}_{3}\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da3a030d2b3e6d775fddbc44afd79de05ab6d168)
Kegelschnitt
|
Ellipse
|
Hyperbel
|
Parabel
|
Eigenschaften
|
Definition: Menge aller Punkte, für die …
|
die Summe der Abstände zu den Brennpunkten konstant gleich 2a ist.
|
die Differenz der Abstände den beiden Brennpunkten konstant gleich 2a ist.
|
der Abstand zu einem Brennpunkt und der Leitgeraden l konstant ist.
|
Lineare Exzentrizität
|
|
|
--
|
Koordinaten
|
Kartesische Koordinaten
|
|
|
|
Achsenparallele Lage
|
|
|
|
Parameterform
|
mit
|
![{\displaystyle x={\frac {a}{\cos(t)}};\;y=\pm b\tan(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec47b7bd1a2673184a088e42aa4abb248919eb6)
|
|
Geraden
|
Tangente in
|
|
|
|
Normale durch
|
|
|
|
Schnittpunkt mit der Geraden
|
![{\displaystyle x_{1,2}=a^{2}m\alpha \pm \beta \cdot {\sqrt {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4799f90245ca3006d4d2eb41c0519911dca83e8f)
![{\displaystyle y_{1,2}=b^{2}\alpha \pm m\beta \cdot {\sqrt {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf4e61f5332dacb2892aacc108eb6b1ca79b71b)
![{\displaystyle \alpha :={\frac {C}{b^{2}+a^{2}m^{2}}};\beta :={\frac {ab}{b^{2}+a^{2}m^{2}}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b9878873fd360d9651cf8971b9e33cb100c5f34)
|
![{\displaystyle x_{1,2}=a^{2}m\alpha \pm \beta \cdot {\sqrt {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4799f90245ca3006d4d2eb41c0519911dca83e8f)
![{\displaystyle y_{1,2}=b^{2}\alpha \pm m\beta \cdot {\sqrt {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf4e61f5332dacb2892aacc108eb6b1ca79b71b)
![{\displaystyle \alpha :={\frac {C}{b^{2}-a^{2}m^{2}}};\beta :={\frac {ab}{b^{2}-a^{2}m^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad37267d9c29f551ede305384d104124e94367f)
|
![{\displaystyle x_{1,2}={\frac {p-Cm}{m^{2}}}\pm {\frac {1}{m^{2}}}\cdot {\sqrt {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf5f852f5891b905577ccab96f5eac1e3f6327c)
![{\displaystyle y_{1,2}={\frac {p}{m}}\pm {\frac {1}{m}}\cdot {\sqrt {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41f017a1043724c9fd140e0d11dad2f9b2cafe0c)
|
Flächeninhalt
|
Da die geometrische Form einer ebenen Kurve unter Translation und Drehung invariant bleibt, kann eine ausgezeichnete (symmetrische) Darstellung ihrer analytischen Beschreibung gewählt werden. Insbesondere ist somit jede ebene, zweimal stetig differenzierbare Kurve bereits durch Angabe ihrer Krümmung (in jedem Punkt) eindeutig beschrieben. In den folgenden Formeln sind
beliebige, aber feste Konstanten und
bezeichnet stets die Bogenlänge (bei natürlicher Parametrisierung).
Hier bezeichnen
und
die Fresnelschen Integrale.
Im Folgenden haben die Punkte
in dieser Reihenfolge die Koordinaten
.
Punkte werden durch kartesische Koordinaten oder durch Ortsvektoren beschrieben.
Koordinatendarstellung
![{\displaystyle P(p_{1}|p_{2}|p_{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b06565d2cc0bd5ef4ffebe8f086c562df8687a7e)
Ortsvektor
![{\displaystyle {\vec {P}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0cd6887e11438318b3dbdf8ad6837d03ceea797)
Verbindungsvektor zweier Punkte
:
![{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\vec {B}}-{\vec {A}}={\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\\b_{3}-a_{3}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95699805fac4bcc1fbf96673130312129176bee)
Mittelpunkt der Strecke
:
![{\displaystyle {\vec {M}}={\tfrac {1}{2}}\left({\vec {A}}+{\vec {B}}\right)={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\\a_{3}+b_{3}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3d92aadd3675d161b4879ef2da68f9723d097e)
Teilungspunkt , der die Strecke
im Verhältnis
teilt:
![{\displaystyle {\vec {T}}={\frac {1}{1+\lambda }}\left({\vec {A}}+\lambda {\vec {B}}\right)={\frac {1}{1+\lambda }}{\begin{pmatrix}a_{1}+\lambda b_{1}\\a_{2}+\lambda b_{2}\\a_{3}+\lambda b_{3}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f032c7b3a2af6c1cd1f5010307cd1e1ba8c486ca)
Schwerpunkt eines Dreiecks mit den Ecken
:
![{\displaystyle {\vec {S}}={\tfrac {1}{3}}\left({\vec {A}}+{\vec {B}}+{\vec {C}}\right)={\tfrac {1}{3}}{\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}+c_{1}\\a_{2}+b_{2}+c_{2}\\a_{3}+b_{3}+c_{3}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49bd37367bf113a9f2c0171f1adaef6ea5095dea)
Parametergleichung einer Geraden (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt
mit dem Richtungsvektor
:
![{\displaystyle {\vec {X}}={\vec {A}}+\lambda {\vec {u}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43e6fb8d7d4474b7e3498d0b6c947674604e6d7)
Der Parameter
kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und
darf nicht der Nullvektor sein.
Parametergleichung der Ebene (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt
mit den Richtungsvektoren
und
:
![{\displaystyle {\vec {X}}={\vec {A}}+\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {v}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ccfee6ab351a60c663d2055f9ed1e85828dfd2)
Die Parameter
und
können alle reellen Zahlen als Wert annehmen und die Vektoren
müssen linear unabhängig sein (d. h.
und
ist kein skalares Vielfaches von
)
Parametergleichung einer Ebene (Drei-Punkte-Form) durch die Punkte
:
![{\displaystyle {\vec {X}}={\vec {A}}+\lambda \left({\vec {B}}-{\vec {A}}\right)+\mu \left({\vec {C}}-{\vec {A}}\right)={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}\\b_{3}-a_{3}\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}c_{1}-a_{1}\\c_{2}-a_{2}\\c_{3}-a_{3}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9aeb94ec2fc92e96ba55449794ea6eb330d93d2)
Die beiden Parameter
und
können alle reellen Zahlen als Werte annehmen und die gegebenen Punkte
und
dürfen nicht auf einer Geraden liegen.
Normalengleichung der Ebene durch den Punkt
mit dem Normalenvektor
in vektorieller Schreibweise:
bzw. ![{\displaystyle {\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}-a_{1}\\x_{2}-a_{2}\\x_{3}-a_{3}\end{pmatrix}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022a9d08dc6bf808af4f6c9317365acf5d778df1)
Koordinatengleichung
mit
nicht alle gleich 0.
Überführen der Formen ineinander
- Parameterform in Normalenform:
![{\displaystyle {\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36017bf7516276e888940eeace892b5dea66641)
- Normalenform und Koordinatengleichung:
- Die Normalenform ist dasselbe wie die Koordinatengleichung, nur ein wenig anders aufgeschrieben. Explizit:
und
.
- Von der Parameterform zur Koordinatengleichung:
definiert drei Gleichungen; man löse eine davon nach
und eine andere nach
auf und setze dies in die verbleibende Gleichung ein.
- Von der Koordinatengleichung zur Parameterform:
- Entweder findet man durch Ausprobieren drei nicht-kollineare Punkte in der Ebene und setzt diese in die Drei-Punkte-Form der Parametergleichung ein. Alternativ funktioniert auch folgender algorithmischer Ansatz: Da
nicht alle gleich 0 sind (sagen wir
), lässt sich die Koordinatengleichung nach einer Koordinate auflösen und diese Koordinate ist also eine Funktion der beiden anderen:
. Man findet nun drei nicht-kollineare Punkte in der Ebene, indem man nacheinander
,
und
einsetzt. D. h. explizit setzt man
,
und ![{\displaystyle {\vec {C}}={\begin{pmatrix}0\\1\\x_{3}(0,1)\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30bb973d0d5d996d4c5ea8b3df8d7e3dfcfe0e90)
- in die Drei-Punkte-Form der Parametergleichung ein.
Abstand der Punkte
![{\displaystyle \left\vert {\overrightarrow {AB}}\right\vert =\left|{\vec {B}}-{\vec {A}}\right|={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+(b_{3}-a_{3})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d92c5d849d32559779adb51b258391aeb0a09c)
Abstand des Punkts
von der Geraden
in Parameterform
:
![{\displaystyle d(P,g)={\frac {|({\vec {P}}-{\vec {A}})\times {\vec {u}}|}{|{\vec {u}}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3daa7e7bdb5f31abbd75cb7cc5b71874738f55c7)
Abstand des Punktes
von der Ebene
mit der Normalengleichung
(siehe Hessesche Normalform):
![{\displaystyle d(P,\epsilon )={\frac {\left|n_{1}p_{1}+n_{2}p_{2}+n_{3}p_{3}+n_{0}\right|}{\sqrt {{n_{1}}^{2}+{n_{2}}^{2}+{n_{3}}^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b30896ba23c66e286408d1a972625f7b42c2ab)
Abstand des Punktes
von der Ebene
in Parameterform
:
![{\displaystyle d(P,\epsilon )={\frac {|({\vec {P}}-{\vec {A}})\cdot ({\vec {u}}\times {\vec {v}})|}{|{\vec {u}}\times {\vec {v}}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a2bd799b68f17fb038383d7a10103ca63424ddc)
Abstand der parallelen Ebenen
und
mit den Normalengleichungen
bzw.
:
![{\displaystyle d(\epsilon ,\epsilon ')={\frac {\left|n_{0}-n_{0}'\right|}{\sqrt {{n_{1}}^{2}+{n_{2}}^{2}+{n_{3}}^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59a837485e573f78f2e510f6eaee5691019b1942)
Orthogonalprojektion eines Punkts
auf eine Gerade
in Parameterform
:
![{\displaystyle {\vec {P}}_{g}={\vec {A}}+{\frac {({\vec {B}}-{\vec {A}})\cdot {\vec {u}}}{{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}\,{\vec {u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16d8ba26efd16c626be45fcef8b1f7a90a393a5)
Orthogonalprojektion eines Punkts
auf eine Ebene
in Normalenform
:
![{\displaystyle {\vec {P}}_{\epsilon }={\vec {B}}-{\frac {({\vec {B}}-{\vec {A}})\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {n}}}}\,{\vec {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90dcafa225a56c5a087590c0b2e1669d80d55805)
Parallelprojektion in Richtung
eines Punkts
auf eine Ebene
in Normalenform
:
![{\displaystyle {\vec {P}}_{\epsilon ,{\vec {v}}}={\vec {B}}-{\frac {({\vec {B}}-{\vec {A}})\cdot {\vec {n}}}{{\vec {v}}\cdot {\vec {n}}}}\,{\vec {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c06b80e137b2c37cb9c3368bd0c5c013b89109)
Schnittwinkel (kleinerer Winkel)
zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren
und
:
![{\displaystyle \cos \epsilon ={\frac {\left|{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\right|}{\left|{\vec {u}}\right|\left|{\vec {v}}\right|}}={\frac {\left|u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}\right|}{{\sqrt {{u_{1}}^{2}+{u_{2}}^{2}+{u_{3}}^{2}}}{\sqrt {{v_{1}}^{2}+{v_{2}}^{2}+{v_{3}}^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a20059495f1937a1b94d79c6abcc8f52253d2f3b)
Schnittwinkel
zwischen einer Ebene mit dem Normalenvektor
und einer Geraden mit dem Richtungsvektor
:
![{\displaystyle \sin \epsilon ={\frac {\left|{\vec {n}}\cdot {\vec {u}}\right|}{\left|{\vec {n}}\right|\left|{\vec {u}}\right|}}={\frac {\left|n_{1}u_{1}+n_{2}u_{2}+n_{3}u_{3}\right|}{{\sqrt {{n_{1}}^{2}+{n_{2}}^{2}+{n_{3}}^{2}}}{\sqrt {{u_{1}}^{2}+{u_{2}}^{2}+{u_{3}}^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/101249e01ee445a0de39195cedcceadbc6d0143b)
Schnittwinkel
zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren
und
:
![{\displaystyle \cos \epsilon ={\frac {\left|{\vec {m}}\cdot {\vec {n}}\right|}{\left|{\vec {m}}\right|\left|{\vec {n}}\right|}}={\frac {\left|m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2}+m_{3}n_{3}\right|}{{\sqrt {{m_{1}}^{2}+{m_{2}}^{2}+{m_{3}}^{2}}}{\sqrt {{n_{1}}^{2}+{n_{2}}^{2}+{n_{3}}^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049a59e94d335e0a93510ba3a770c66114174a7b)
Volumen des Tetraeders
(vergleiche Spatprodukt): (
)
![{\displaystyle V={\Big |}{\frac {1}{6}}[{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]{\Big |}={\Big |}{\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}{\Big |}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a40d68981efb70354b03d942e4cd3e43c280114)
Kartesische Koordinaten
- Einheitskugel:
![{\displaystyle {x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a70409e09d2c54e3e800fd6f06fab0b68d73a6)
- Allgemein: (Mittelpunkt:
)
![{\displaystyle (x_{1}-a)^{2}+(x_{2}-b)^{2}+(x_{3}-c)^{2}=r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c1ef25ef0e0397d3b549ab2e061decb73bd0881)
Parameterform (im Ursprung)
mit
und ![{\displaystyle 0\leq \varphi \leq 2\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8bdc4815823c183daa2732a61e61f1a555145a)
Mittelpunkt
der Kugel durch vier Punkte
und
, die nicht in einer Ebene liegen:
![{\displaystyle {\vec {X}}=\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\begin{array}{ccc}a_{1}-p_{1}&a_{2}-p_{2}&a_{3}-p_{3}\\b_{1}-p_{1}&b_{2}-p_{2}&b_{3}-p_{3}\\c_{1}-p_{1}&c_{2}-p_{2}&c_{3}-p_{3}\end{array}}\right)^{-1}\left({\begin{array}{c}{\vec {A}}\cdot {\vec {A}}-{\vec {P}}\cdot {\vec {P}}\\{\vec {B}}\cdot {\vec {B}}-{\vec {P}}\cdot {\vec {P}}\\{\vec {C}}\cdot {\vec {C}}-{\vec {P}}\cdot {\vec {P}}\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22377929247faa7ff95ea0e91d3919bebc98b20)
Ellipsoid mit den Halbachsen
, Mittelpunkt im Ursprung, Halbachsen parallel zur
bzw.
-Achse:
![{\displaystyle {\frac {{x_{1}}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {{x_{2}}^{2}}{b^{2}}}+{\frac {{x_{3}}^{2}}{c^{2}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85f8779a47accc837f036e79fd33a2c59bdaa664)
Hyperboloid mit Halbachsen
:
![{\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x_{3}^{2}}{c^{2}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe5f82fba8e0d47fc1c3f88dbc6f3c7430053b5)
Paraboloid mit Scheitel im Ursprung:
![{\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {x_{2}^{2}}{b^{2}}}-2z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e067a0efb1dc2cbb865102b6bf9874fe7a2f5ac7)
Plus liefert ein elliptisches, minus ein hyperbolisches Paraboloid.
Kegel mit Halbachsen
der Ellipse, Spitze im Ursprung:
![{\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x_{3}^{2}}{c^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ddebfd4518187cded4fce4f1f3b374d524a592b)