Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Gleichung für die Übergangswahrscheinlichkeiten bei Markow-Ketten oder allgemeiner bei Markow-Prozessen. Die differentielle Schreibweise der Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist als Mastergleichung bekannt.
Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung für Markow-Ketten stellt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Zustandes
nach
Schritten, beginnend im Zustand
, als Summe möglicher Wege mit Zwischenstation
dar. Formal bedeutet dies:[1]
Sei
eine Markow-Kette mit Übergangsmatrix
und Zustandsraum
.
Dann gilt für alle
.
Der Beweis der Gleichung wird in der Regel wie folgt geführt:
Unter Anwendung der Definition der Matrizenmultiplikation auf die Übergangsmatrix
ergibt sich
![{\displaystyle {\begin{aligned}P(X_{m+n}=y\mid X_{0}=x)&{\overset {(*)}{=}}\Pi ^{n+m}(x,y)\\&{=}\sum _{z\in \mathrm {E} }\Pi ^{m}(x,z)\Pi ^{n}(z,y)\\&{\overset {(*)}{=}}\sum _{z\in \mathrm {E} }P(X_{m+n}=y\mid X_{m}=z)P(X_{m}=z\mid X_{0}=x)\,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86e720257d2684d778864380791a4c63cad46c8a)
wobei bei
ausgenutzt wurde, dass
für alle
mit
gilt.
Für einen allgemeinen Markow-Prozess mit der Halbgruppe
von Übergangskernen lässt sich die Chapman-Kolmogorow-Gleichung auch kurz schreiben als[2]
![{\displaystyle \forall \,s,t\in \mathbb {R} _{\geq 0}:\quad K(s+t)=K(s)K(t)\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11aef056b0bc7b24cfad015f06fd2e62e0dce15d)
wobei
die Komposition von Kernen bezeichnet. Induktiv lässt sich daraus herleiten, dass
![{\displaystyle \forall \,n\in \mathbb {N} ,t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}\quad K\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}K(t_{i})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a80a57aa9810ae237453ad4b88f8c050421f865e)
- ↑ Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, S. 354.
- ↑ Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, S. 291.