Benutzer:Pascal.vollmer.fr/Geometric mechanics

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Die Geometrische Mechanik ist ein Zweig der Mathematik, in dem Methoden der Differentialgeometrie auf verschiedene Bereiche der Mechanik angewendet werden: von der Punktmechanik über die Mechanik starrer Körper bis zur Strömungsmechanik und zur Regelungstechnik.

Die geometrische Mechanik wird auf Systeme angewendet,

Zum Beispiel ist

  • der Konfigurationsraum eines Satelliten die Bewegungsgruppe, bestehend aus Translationen und Rotationen im Raum,
  • der Konfigurationsraum eines Flüssigkristalls die Gruppe der Diffeomorphismen, verbunden mit einem internen Zustand (Eichsymmetrie oder >>>Ordnungsparameter).

Momentum map and reduction

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Ein wichtiges Motiv der geometrischen Mechanik ist die Reduktion. >>>s. etwa Bloch, 2015, S. 152; Abraham, Marsden, 1978, S. 298; Arnold, 1978>>> Er geht zurück auf Jacobi und seine ... which goes back to Jacobi's elimination of the node beim 3-Körper-Problem. >>>https://www.physik.uzh.ch/~psaha/astron/jacobi/jacobi.php>>> In seiner modernen Form wurde er von K. Meyer formuliert[1]. Unabhängig davon von .. independently J.E. Marsden and A. Weinstein (1974), die beide von der Arbeit von Smale (1970) beeinflusst waren.

Verfügt ein Hamilton'sches oder Lagrange'sches System über eine Symmetrie, dann gibt es nach dem Noether-Theorem eine entsprechende Erhaltungsgröße. Diese Erhaltungsgrößen sind die Bestandteile der Impulsabbildung J >>> siehe in dem entsprechenden Artikel der de.wikipedia >>>. If P is the phase space and G the symmetry group, the momentum map is a map , and the reduced spaces are quotients of the level sets of J by the subgroup of G preserving the level set in question: for one defines , and this reduced space is a symplectic manifold if is a regular value of J.

Variational principles

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Geometric integrators

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One of the important developments arising from the geometric approach to mechanics is the incorporation of the geometry into numerical methods. In particular symplectic and variational integrators are proving particularly accurate for long-term integration of Hamiltonian and Lagrangian systems.

>>> Dieser Abschnitt überschneidet sich teilweise mit "Momentum map and reduction". The term "geometric mechanics" occasionally refers to 17th-century mechanics.[2]

As a modern subject, geometric mechanics has its roots in four works written in the 1960s. These were by Vladimir Arnold (1966), Stephen Smale (1970) and Jean-Marie Souriau (1970), and the first edition of Abraham and Marsden's Foundation of Mechanics (1967). Arnold's fundamental work showed that Euler's equations for the free rigid body are the equations for geodesic flow on the rotation group SO(3) and carried this geometric insight over to the dynamics of ideal fluids, where the rotation group is replaced by the group of volume-preserving diffeomorphisms. Smale's paper on Topology and Mechanics investigates the conserved quantities arising from Noether's theorem when a Lie group of symmetries acts on a mechanical system, and defines what is now called the momentum map (which Smale calls angular momentum), and he raises questions about the topology of the energy-momentum level surfaces and the effect on the dynamics. In his book, Souriau also considers the conserved quantities arising from the action of a group of symmetries, but he concentrates more on the geometric structures involved (for example the equivariance properties of this momentum for a wide class of symmetries), and less on questions of dynamics.

These ideas, and particularly those of Smale were central in the second edition of Foundations of Mechanics (Abraham and Marsden, 1978).


  • Buch #1


Einzelnachweise

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  1. Kenneth Meyer: Symmetries and integrals in mechanics In: Dynamical systems (M. Peixoto, ed., Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971) Academic Press, New York 1973, S. 259–272.
  2. Sébastien Maronne, Marco Panza. "Euler, Reader of Newton: Mechanics and Algebraic Analysis". In: Raffaelle Pisano. Newton, History and Historical Epistemology of Science, 2014, pp. 12–21.

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