Benutzer:Erwin Eisern/Baustelle

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Geschichtliches

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Nach den Arbeiten von Gerolamo Cardano, Nicolo Tartaglia, Paolo Ruffini und anderen im 16. Jahrhundert zur Lösung von Polynomen 3. und 4. Grades stellte man sich die Frage, ob Gleichungen höheren Grades auch noch durch Radikale aus den Koeffizienten von


also den errechnet werden können. Wir betrachten ab hier ganzzahlige .

Isaac Newton (1643-1727) entdeckte etwa 1666 die Newton-Identitäten, womit er der Problematik näher rückte, ohne das beabsichtigt zu haben.

Essenz: Die Lösbarkeit von Polynomen beliebigen Grades hat etwas mit Vertauschungen oder auch Permutationen ihrer Wurzeln zu tun.

Erst Évariste Galois zeigte ca. 1830 die bis heute gültige Lösung auf.

Wie man eine Resolvente eines Polynoms bildet

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Man betrachtet zur Einführung zunächst die normierte Kubische Gleichung mit Leitkoeffizient 1, also der Koeffizient von ist 1.

Der Kürze halber wird ab jetzt geschrieben. Die Ausdrücke , also die Koeffizienten von sind symmetrisch in x,y,z.

Symmetrisch heißt, sie ändern sich bei einer Permutation der Variablen nicht. Eine Vertauschung von und „ändert“ beispielsweise nach , was genau dasselbe ist.

Allgemein sind die Koeffizienten beliebiger Polynome der Art symmetrische Polynome in den Lösungen oder Wurzeln von , ohne diese explizit zu kennen.

Man nennt sie auch elementarsymmetrische Polynome.

Joseph-Louis Lagrange bildete den Term

,

also die nach ihm benannte Lagrange-Resolvente (aus dem lateinischen resolvere = auflösen). Hier sind die Lösungen von . ist eine 3. primitive Einheitswurzel, also und .

Die beiden Werte für sind algebraisch gleichwertig und machen im Folgenden keinen Unterschied.

Die dritten Einheitswurzeln

Natürlich kann man auch Lagrange-Resolventen für Gleichungen höheren Grades als 3 finden.

Seien die Wurzeln einer quintischen Gleichung also ein monisches Polynom 5ten Grades, so ist

wobei eine 5. primitive Einheitswurzel ist. Im Bild rechts sind das B,C,D und E.

5te Einheitwurzeln

Bekannte Größe

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Nach Lagrange setzt sich eine sog. "bekannte Größe" zusammen aus

a) Rationalen Zahlen
b) Koeffizienten der gegebenen Gleichung und
c) Einheitswurzeln.


Nach Lagrange soll eine Resolvente drei Bedingungen erfüllen:

  1. Sie ist rational ausdrückbar durch die Lösungen, manchmal sagt man auch Wurzeln der ursprünglichen Gleichung und durch bekannte Grössen.
  2. Umgekehrt kann jede Lösung der ursprünglichen Gleichung rational ausgedrückt werden durch die Resolvente und bekannte Größen.
  3. Es ist die Lösung einer lösbaren Gleichung.


Lagrange erkannte sehr wohl, dass sechs verschiedene Werte annehmen kann, je nachdem wie man die Werte anordnet.

Diese sechs Werte für kann man nun als Lösung einer anderen Gleichung 6. Grades auffassen.

Die durchlaufen hier alle 6 möglichen Permutationen der x,y,z in .

Jedes der ist somit bekannt.

Wenn man ausrechnet, erhält man die Resolventengleichung:


Die sind symmetrisch in den und die sind derart gewählt, dass sie durch Permutation der x,y,z untereinander hervorgehen.

Jedes symmetrische Polynom lässt sich als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben, das besagt der Hauptsatz über elementarsymmetrische Polynome. Aus den beiden letzten Sätzen folgt: Die aus f(X) sind bekannte Größen, die man mittels der Koeffizienten der gegebenen kubischen Gleichung also x,y,z ausdrücken kann.

Lösen der Resolventengleichung

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Die Resolventengleichung f(X) ist von höherem Grad als die ursprüngliche Gleichung.

Gilt , dann ist , hier also .

Sie ist dennoch lösbar. Durch Nachrechnen erkennt man, dass eine quadratische Gleichung in ist.

Man ordnet einfach die Werte von in folgender Weise an:

Ausserdem ist wg

Es ist:

und da und ergibt sich:

In obiger Schreibweise setzen wir

und erhalten

Nach Substitution erhält man


Die Koeffizienten von sind genau die Größen bzw. , deren Ausdruck mittels der Koeffizienten der ursprüglichen kubischen Gleichung die obige Lösung ergaben.

Der nächste Schritt

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Wenn die sechs Werte von aus den Lösungen der Resolventengleichung gewonnen wurden, sind die Lösungen der Kubik gegeben durch:

Jetzt steht nur noch die Entscheidung aus, welche der sechs Lösungen der Resolventengleichung, also welche der denn bzw. sind.

Man nimmt eines der von oben, also eine der sechs Lösungen der Resolventengleichung und sortieren (permutieren) die Wurzeln x, y und z um, so dass

ist.

Man erkennt nun, dass

symmetrisch in x, y und z ist, was so viel bedeutet, dass jede der sechs möglichen Permutationen von x, y und z das gleiche liefert. Und damit ist eine bekannte Größe. Sie wird im folgenden genannt.

Letzter Schritt

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Also sind die drei Lösungen der kubischen Gleichung :

(1)
(2)
(3)

wobei irgendeine der sechs Lösungen der Resolvente ist.

In dem Falle, dass eine ursprüngliche kubische Gleichung mittels reduziert wird auf erhalten wir

,

was man durch die Cardano-Formel verifizieren kann.

Sei

Deren Lösungen sind



Also ist

oder

Die sind sie o.a. elementarsymmetrischen Polynome in .

Die Lagrange-Resolvente ist nun definiert als:


Also sind die 6 durch Permutation der in hervorgehenden Resolventen:

Und die Resolventengleichung ist:

somit

Wie oben ersetzt man

und da ist, gilt insbesondere und

Substitution ergibt sich

somit

--Juergen Behrndt (Diskussion) 10:39, 14. Apr. 2012 (CEST)

Gleichungen 4. Grades

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Sei ein Polynom 4. Grades, dann ist eine kubische Resolvente oder besser Resolventengleichung von . Somit können sogar Gleichungen 4. Grades mithilfe obigen Verfahrens gelöst werden.

Mit den Lösungen von seien die Resolventen .

Nachzulesen z.B. in "van der Waerden, Algebra 1". Siehe Quellen.

Die erfüllen die o.a. Kriterien an eine Resolvente, obwohl sie keine Lagrangeresolventen sind.

Jede einzelne der ist aber NICHT notwendig symmetrisch in allen denkbaren 24 Permutationen der . aber alle der 24 Permutationen führen ein in ein anders über.

Dann ist die entsprechende Resolventengleichung von h(x) das Polynom 3ten Grades und lösbar.

Die Kenntnis der Lösungen einer Resolventgleichung g(x) führen nach einigen Rechnungen zur Lösung der ursprünglichen Gleichung h(x).

  • Alexandre-Théophile Vandermonde (1735 - 1796): Mémoire sur la résolution des équations. Paris 1771-1774 (Deutsche Übersetung in "Abhandlungen aus der reinen Mathematik" , Springer, Berlin 1888).
  • Jean-Pierre Tignol: Galois's theory of algebraic equations. World Scientific, Singapore 2001, ISBN 981-02-4561-6(?!) – (Eine historisch orientierte Einführung in die Galois-Theorie).
  • Harold M. Edwards: Galois Theory. Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo 1984, ISBN 3-540-90980-X (Graduate Texts in Mathematics).
  • Adrien-Marie Legendre (18. September 1752 in Paris; - 10. Januar 1833 ebenda): * Éléments de géométrie. . Firmin-Didot frères, Paris 1794.
  • Galois, Évariste (1830): "Sur la théorie des nombres". Bulletin des Sciences mathématiques XIII: 428, Paris 1830.
  • Sir Issac Newton: Arithmetica Universalis. London 1707 Latein.

anm: auch hier kann jeder lesen und schreiben der den Namen weiss auch net sicher...

[[Kategorie:Algebra]]

--Erwin Eisern (Diskussion) 08:36, 28. Mär. 2012 (CEST)