Die Streuamplitude ist eine Größe der Streutheorie, die die Richtungsabhängigkeit der Streuwelle beschreibt, wenn eine ebene Welle an einem Streuzentrum gestreut wird. Sie hat die Dimension Länge und verbindet die S-Matrix mit dem Wirkungsquerschnitt.
Die Streuamplitude
ist über den S-Operator
definiert:
![{\displaystyle \langle \mathbf {p'} |S|\mathbf {p} \rangle =\delta ^{(3)}\!(\mathbf {p'} -\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )\;,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ef77bedfdfe97736eb14f2d328ba0234e0c477)
wobei
und
Eigenzustände des Impulsoperators sind. Die Streuamplitude
ist nur für
bzw.
definiert, weil
für
null ist. Weiterhin ist der S-Operator und damit auch die Streuamplitude invariant unter Rotationen. Deshalb kann die Streuamplitude auch als Funktion von der Energie des eingehenden Zustands
sowie des Winkels
zwischen
und
geschrieben werden.
Im folgenden wird eine alternative Darstellung vorgestellt, die vielfach auch als Definition benutzt wird.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{out}&=\int d^{3}\!p'\langle \mathbf {p'} |S|\mathbf {p} \rangle \psi _{in}(\mathbf {p} )\\&=\psi _{in}(\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}\int d^{3}\!p'\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })f(\mathbf {p'} \leftarrow \mathbf {p} )\psi _{in}(\mathbf {p} )\\&=\psi _{in}(\mathbf {p} )+{\tfrac {i}{2\pi m}}f(E_{\mathbf {p} },\vartheta )\int d^{3}\!p'\delta (E_{\mathbf {p'} }-E_{\mathbf {p} })\psi _{in}(\mathbf {p} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34fc41ca1a888ba4dbf3a68ebeb819a91612abbe)
Wenn für die eingehende Welle
eine ebene Welle parallel zur z-Achse angenommen wird, ergibt dies folgendes:
![{\displaystyle \psi _{out}=e^{ipz}+f(p,\theta ){\frac {e^{ipr}}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9dd7bd755b09b9ff592b22980789096af1c2b4)
Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch
![{\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta )|^{2}\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6572b29dc8e9fd023898dd05f112ed7909303df)
Zu dem totalen Wirkungsquerschnitt existiert eine Verbindung über das optische Theorem
![{\displaystyle \sigma _{\mathrm {tot} }={\frac {4\pi }{k}}~\mathrm {Im} \,f(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc8d0af1a0475620762705a454ae052a32f0afa)
In der Partialwellenentwicklung wird die Streuamplitude durch eine Summe über Partialwellen ausgedrückt,
![{\displaystyle f(\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)f_{\ell }(k)P_{\ell }(\cos(\theta ))\;,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56610799d03369ce328a1e10aa017fe5f808377b)
wobei
die partielle Streuamplitude,
das Legendre-Polynom und
der Index für den Drehimpuls ist.
Die partielle Streuamplitude kann durch das S-matrix Element
und die Streuphase
ausgedrückt werden:
![{\displaystyle f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a6ce205b186428ccf99e73c984e1232e9a8237b)
Es ist zu beachten, dass die partielle Streuamplitude
, das S-matrix Element
und die Streuphase
implizit Funktionen der Streuenergie bzw. des Impulses
sind.
Die Streulänge
kann mit Hilfe der partiellen Streuamplitude definiert werden:
![{\displaystyle f_{\ell }(p){\xrightarrow[{p\rightarrow 0}]{}}-a_{\ell }p^{2\ell }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1d899afbce9a76699bab9fd19fc2865d448c9a)
Gewöhnlich wird aber nur die s-Wellen Streulänge
als Streulänge bezeichnet.
- John R. Taylor: Scattering Theory - The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions, 1983.