Das 6j-Symbol von Eugene Wigner ist eine Notation zur Kopplung von Drehimpulsen in der Quantenmechanik. Es spielt eine Rolle bei der Kopplung von drei quantenmechanischen Drehimpulsen.
Es ist folgendermaßen als Summe über Produkte von vier 3j-Symbolen definiert:
![{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d296c2586f084defaa47a6226afe252dfccafc)
![{\displaystyle =\sum _{m_{1},\dots ,m_{6}}(-1)^{\sum _{k=1}^{6}(j_{k}-m_{k})}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\m_{1}&-m_{5}&m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\m_{4}&m_{2}&-m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\-m_{4}&m_{5}&m_{3}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85b0745e6bf242f28dd020be9535e1ca9e65dc4a)
Dabei ist zu beachten, dass nicht alle
nichtverschwindende Beiträge leisten (Auswahlregeln der 3j-Symbole, siehe dort).
Das 6j-Symbol ist invariant unter Vertauschung seiner Spalten:
![{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a44f1ff1157e70e6ae7376bccf90d99cb1e9d041)
Es ist auch invariant unter gleichzeitiger Vertauschung von übereinanderstehenden Symbolen in zwei Spalten:
![{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef51ee016f847891f5755c6f6511550a96b1d17)
Insgesamt gibt es 24 Symmetrien.
Das 6j-Symbol
![{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d296c2586f084defaa47a6226afe252dfccafc)
verschwindet außer
erfüllen die Dreiecksbedingung:
![{\displaystyle j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4066191f809bc0a11bdf5ceaee33c6b2b053706)
Wegen der oben erläuterten Symmetrien müssen auch
,
,
die Dreiecksbedingung erfüllen. Außerdem muss die Summe aller Elemente dieser Dreiertupel eine ganze Zahl sein.
Für
gilt folgende Formel für das 6j-Symbol:
![{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b5e9cde9f427ab3362729e78eb4ba75fb3d8d3)
Das trianguläre Delta
ist gleich 1 falls
die Dreiecksbedingung erfüllen und 0 sonst.
Die 6j-Symbole erfüllen die Orthogonalitätsrelation:
![{\displaystyle \sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee1a4349f604f4940c55c648fcbb203f60148e0)
Falls alle
im 6j-Symbol groß sind ist:
![{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}\sim {\frac {1}{\sqrt {12\pi |V|}}}\cos {\left(\sum _{i=1}^{6}J_{i}\theta _{i}+{\frac {\pi }{4}}\right)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de21a4c381832111302fc4411a727ed0dc1592d)
Die Formel wurde von Tullio Regge und G. Ponzano[1] vermutet und wurde von Justin Roberts bewiesen.[2] und nutzt die sich asymptotisch ergebende Tetraeder-Geometrie aus. Dabei ist V das Volumen des Tetraeders,
die Länge der Seite
und
der Winkel der Seiten, die an die i-te Kante stoßen.
Sie sind mit den Racah-W-Koeffizienten verbunden, die ebenfalls zur Kopplung von drei Drehimpulsen verwendet werden:
![{\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e0f68de73e6fe8fd65da8280d5df765f99d8aa)
Die Racah-W-Koeffizienten sind Koeffizienten:
![{\displaystyle W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23})\equiv {\frac {\langle (j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{12},j_{3})J\rangle }{\sqrt {(2J_{12}+1)(2J_{23}+1)}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9192aa9f4d45762e8b1003b04fe9c053be74ac37)
beim Übergang von einer Basis, in der
und
zu
gekoppelt sind und dieses dann mit
zum Gesamtdrehimpuls
und einer Basis, in der zuerst
und
zu
gekoppelt sind und dieses dann mit
zu
:
![{\displaystyle |((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})JM\rangle =\sum _{J_{23}}\langle (j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})J\rangle \,|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256b5557e6606721447b5f4153fc939de160de83)
![{\displaystyle ={\sqrt {(2J_{12}+1)}}\sum _{J_{23}}{\sqrt {(2J_{23}+1)}}\,W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23})|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ec87b6886b3af4043b2a63e1784435b597ce0b)
- Alan Robert Edmonds: Drehimpulse in der Quantenmechanik, BI Hochschultaschenbücher 1964 (englisches Original Princeton UP 1957)
- A. Messiah: Quantenmechanik, Band 2, De Gruyter 1985, Anhang C
- ↑ Ponzano, Regge: Semiclassical Limit of Racah Coefficients, in: Spectroscopy and Group Theoretical Methods in Physics, Amsterdam, 1968, S. 1–58
- ↑ J. Roberts: Classical 6j-symbols and the tetrahedron, Geometry and Topology, Band 3, 1998, S. 21–66, Arxiv