In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet S-Dualität eine Dualität zwischen topologischen Spektren und damit zwischen verallgemeinerten Homologie- und Kohomologietheorien.
Es seien
und
zwei Spektra. Wir bezeichnen mit
ihr Smash-Produkt und mit
das Sphärenspektrum.
Ein Dualitätsmorphismus oder eine Dualität zwischen
und
ist ein Morphismus von Spektren
![{\displaystyle u\colon \mathbf {S} \to A\wedge A^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7d1a5075bc75e5948047b26aadc9009350a1dfe)
so dass für jedes Spektrum
die durch
![{\displaystyle u_{E}(\phi ):=(\phi \wedge id_{A^{*}})u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c5134c2ce127305c7fb54b10ed8c0824a49aa4f)
![{\displaystyle u^{E}(\phi ):=(id_{A}\wedge \phi )u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/050e1996d7244d1ca8a928f7568382fcc8d07ff8)
definierten Abbildungen
![{\displaystyle u_{E}\colon \left[A,E\right]\to \left[\mathbf {S} ,E\wedge A^{*}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ca03ecc3af8d73d4287faa45eca0c4d0b13385)
![{\displaystyle u^{E}\colon \left[A^{*},E\right]\to \left[\mathbf {S} ,A\wedge E\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4657f05b690303b26bb02651b7309ec1c0cd9c)
Bijektionen sind.
Die Spektren
und
heißen S-dual, wenn es einen Dualitätsmorphismus
gibt. S-Dualität ist eine symmetrische Relation.
Zwei Spektren
und
heißen
-dual für
, wenn
und
S-dual sind. Dabei bezeichnet
das durch
definierte Spektrum.
Seien
und
zwei Dualitätsmorphismen, dann ist zu jedem Morphismus
![{\displaystyle f\colon A\to B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dec1893560fabff9fa9c17b83b71f7f97996119)
sein S-dualer Morphismus
![{\displaystyle f^{*}\colon B^{*}\to A^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d59f7e21b7ca8789839d6444f6955c6092ff618)
definiert als das Bild von
unter dem Isomorphismus
.
(
ist also wohldefiniert bis auf Homotopie.)
Insbesondere ist
genau dann S-dual zu
, wenn
.
- Die kanonische Äquivalenz
ist eine S-Dualität.
- Für eine geschlossene
-Mannigfaltigkeit
mit Einhängungsspektrum
wird die Milnor-Spanier S-Dualität
![{\displaystyle u\colon \mathbf {S} \to Th(\nu _{M})\wedge \Sigma ^{-n}\Sigma ^{\infty }M_{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6348f7ad931cec169d6c6ad24a18f336e96298d0)
- definiert wie folgt: Wähle eine Einbettung
für ein
und eine Tubenumgebung
mit Projektion
. Dann ist
und wir betrachten die Komposition
,
- wobei die erste Abbildung
auf einen Punkt kollabiert und die zweite Abbildung von
induziert wird. Dann ist
![{\displaystyle u:=\Sigma ^{-N}\Sigma ^{\infty }f\colon \mathbf {S} \to Th(\nu _{M})\wedge \Sigma ^{-n}\Sigma ^{\infty }M_{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e65e0bf75b530e975d035e3c12f25250f22b2ca)
- eine S-Dualität.
- Falls
bzgl. eines Ringspektrums
orientierbar ist, dann entsprechen die kohomologischen
-Orientierungen (Thom-Klassen) unter
![{\displaystyle u_{E}\colon \left[Th(\nu _{M}),E\right]\to \left[\mathbf {S} ,E\wedge \Sigma ^{-n}\Sigma ^{\infty }M_{+}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165becf0ba66c64696822c1d5689b5548e1fe916)
- den homologischen
-Orientierungen (Fundamentalklassen).
- Y. B. Rudyak: On Thom spectra, orientability, and cobordism, Springer-Verlag, 1998, Corrected reprint 2008