Differenzenrechnung

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Die Differenzenrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die diskrete Entsprechung zur Analysis (Differenzial- und Integralrechnung) bildet. Während sich die Analysis mit Funktionen beschäftigt, die auf kontinuierlichen Räumen definiert sind (um einen Grenzwertbegriff etablieren zu können), im Besonderen mit Funktionen auf den reellen Zahlen, interessiert man sich in der Differenzenrechnung für Funktionen auf den ganzen Zahlen ℤ. Die Differenzenrechnung kann zur Berechnung von Reihen angewandt werden.

Differenzen und Summen

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Die bekannte kontinuierliche Differentialrechnung basiert auf dem Differenzialoperator , der wie folgt definiert ist:

Die Differenzenrechnung hingegen verwendet einen sogenannten Differenzenoperator :

.

Die umgekehrte Operation wird nicht wie in der kontinuierlichen Differentialrechnung mit dem unbestimmten Integral, sondern mit einer unbestimmten Summe erreicht, die sich zum Differenzenoperator wie folgt verhält:

.

verhält sich hier zu wie zu in der kontinuierlichen Differentialrechnung. steht für den Wert einer beliebigen Funktion, die für ganzzahlige konstant ist ().

Das Pendant zu bestimmten Integralen sind bestimmte Summen. Diese entsprechen gewöhnlichen Summen ohne den Wert am höchsten Index:

.

Invariante Funktion

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Eine unter dem Differenzialoperator invariante Funktion ist die Exponentialfunktion der Basis e. In der Differenzenrechnung ist die Exponentialfunktion der Basis 2 invariant, wie sich leicht ermitteln lässt:

Fallende Fakultäten

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Eine einfache Rechenregel gibt es für fallende Fakultäten, die für jede Ganzzahl wie folgt definiert sind:

Dieser Ausdruck verhält sich in der Differenzenrechnung folgendermaßen:

wobei die -te harmonische Zahl ist. Die harmonische Reihe ist somit das Gegenstück zum natürlichen Logarithmus. Die Übereinstimmung geht so weit, dass ebenfalls gilt.

Fallende Fakultäten und Potenzen können stets mittels Stirling-Zahlen erster bzw. zweiter Art ineinander umgewandelt werden:

,

Außerdem gilt der binomische Lehrsatz auch für fallende Fakultäten.

Beispiel zur Berechnung der Summe der ersten Quadratzahlen:

.

Produktregel und partielle Summation

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Die Produktregel der kontinuierlichen Differentialrechnung ist in folgender Form gültig:

.

Diese Regel lässt sich durch Einführung eines Verschiebeoperators , definiert als , kompakter ausdrücken:

.

Die Umstellung der Terme führt zur Formel der partiellen Summation ähnlich der partiellen Integration:

.

Beispiel zur Berechnung der Summe :

Hier ist und , sodass , und .

Die Formel zur partiellen Summation ergibt: .

Dies führt schließlich zur Lösung: